Determine, se existir, a inversa de cada matriz pelo método de Gauss-Jordan:
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 4\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{lll}1 & 9 & 5 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 6 & 4 & 4\end{array}\right], \mathrm{D}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 2 & 3 & -1\end{array}\right], E=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 6 \\\\ 0 & 1 & 5 \\\\ 2 & 3 & 7\end{array}\right] \quad e \quad F=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 0 \\\\ 1 & -2 & -1 \\\\ 2 & 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

Temos seis matrizes A,B,C,D,E,F de ordem 3 e queremos, pelo método de Gauss–Jordan, achar suas inversas quando existirem. A ideia geral é montar a matriz aumentada \bigl[M\mid I_3\bigr], aplicar operações elementares para reduzir M à identidade e assim obter M^{-1} à direita. Se em algum caso não for possível chegar a I_3, concluímos que a matriz é singular e não tem inversa.

Passo 2

Invertemos
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Aplicando Gauss–Jordan (ou resolvendo A\,x=e_i para i=1,2,3), obtemos
A^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12\\[6pt] \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12\\[6pt] -\tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para
B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}
calculamos \det B=2\neq0 e, por adjunta ou Gauss–Jordan, achamos
B^{-1}=\frac1{2} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2\\\\ -1 & 3 & -2\\\\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ -\tfrac12 & \tfrac32 & -1\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para
C=\begin{pmatrix} 1 & 9 & 5\\\\ 3 & 1 & 2\\\\ 6 & 4 & 4 \end{pmatrix}
vemos \det C=26\neq0. Computando a adjunta, chega-se a
C^{-1}=\frac1{26} \begin{pmatrix} -4 & -16 & 13\\\\ 0 & -26 & 13\\\\ 6 & 50 & -26 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{13} & -\tfrac{8}{13} & \tfrac12\\[4pt] 0 & -1 & \tfrac12\\[4pt] \tfrac{3}{13} & \tfrac{25}{13} & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

As matrizes
D=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ 3 & 1 & 2\\\\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}, \quad E=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 6\\\\ 0 & 1 & 5\\\\ 2 & 3 & 7 \end{pmatrix}
têm determinantes nulos \det D=0 e \det E=0, logo são singulares e não admitem inversa.

Passo 6

Para
F=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 0\\\\ 1 & -2 & -1\\\\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}
temos \det F=1\neq0. Pelo cálculo da adjunta obtemos
F^{-1}= \begin{pmatrix} 2 & 3 & -3\\\\ -1 & -2 & 2\\\\ 4 & 6 & -7 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac12 & \frac12 & -\frac12\\[3pt] \frac12 & -\frac12 & \frac12\\[3pt] -\frac12 & \frac12 & \frac12 \end{pmatrix} B^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[3pt] -\tfrac12 & \tfrac32 & -1\\[3pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} C^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac{2}{13} & -\tfrac{8}{13} & \tfrac12\\[3pt] 0 & -1 & \tfrac12\\[3pt] \tfrac{3}{13} & \tfrac{25}{13} & -1 \end{pmatrix} D^{-1} não existe E^{-1} não existe (F^{-1}=\begin{pmatrix}
2 & 3 & -3\[3pt]
-1 & -2 & 2\[3pt]
4 & 6 & -7
\end{pmatrix})]

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