Determine, se existir, os seguintes limites:
(k) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x^{2}-2 x}{x^{2}-4 x+4}
(k) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x^{2}-2 x}{x^{2}-4 x+4}
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda da função:
Estamos trabalhando com limites, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão e analisar o comportamento dela perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador da fração. Olha só:
Numerador:
Denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar ainda mais a fração. Podemos cancelar um fator
no numerador e no denominador:
Então, o limite que precisamos calcular agora é:
Passo 4
Vamos analisar o que acontece com essa fração quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
).
- O numerador
está se aproximando de 2. - O denominador
está se aproximando de 0, mas pela esquerda, ou seja, valores um pouquinho menores que 2, então será um número negativo muito próximo de 0.
Passo 5
Quando dividimos um número positivo (próximo de 2) por um número negativo que está se aproximando de 0, o resultado vai tendendo para menos infinito. Isso porque estamos dividindo um número positivo por algo que está ficando cada vez mais negativo e pequeno.
Resposta
Portanto, o limite é: