(9) Determine, se existir, os seguintes limites:

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxtotfrac124x^2-12x-1
Isso é um limite de função racional e, como obtemos 0/0 se substituirmos direto, vamos precisar usar fatoração e simplificação algébrica.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=tfrac12:
4l(tfrac12r)^2-1=1-1=0, 2l(tfrac12r)-1=1-1=0,
logo temos 0/0 e precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Fatoramos o numerador usando diferença de quadrados:
4x^2-1=(2x)^2-1^2=(2x-1)(2x+1)

Passo 4

Cancelamos o fator comum 2x-1 em numerador e denominador (para xneqtfrac12):
4x^2-12x-1 =(2x-1)(2x+1)2x-1 =2x+1

Passo 5

Agora o limite da função simplificada é direto:
limxtotfrac12(2x+1) =2cdottfrac12+1=2

Resposta

O limite existe e vale 2.

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