Determine, se existir, os seguintes limites:
(q) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+\sqrt{x}-2}{x^{3}-1}.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo, mais especificamente com limites de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1 + raiz1 - 21^3 - 1 = 1 + 1 - 21 - 1 = 00 diretamente na expressão para ver se obtemos um valor definido ou uma forma indeterminada:
Obtemos a forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para simplificar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) . Sabemos que pode ser fatorado usando a diferença de cubos:
Então, o denominador fica .

Passo 4

Agora, analisamos o numerador x + raizx - 2 = (x - 1) + (raizx - 1) . Podemos tentar expressar isso de uma forma que envolva , já que o denominador tem um fator . Vamos reescrever como :
Isso nos ajuda a identificar a presença de no numerador.

Passo 5

Agora, substituímos as expressões simplificadas no limite:
lim x 1 (x - 1) + (raizx - 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)
Podemos separar a fração em duas:
lim x 1 ( x - 1(x - 1)(x^2 + x + 1) + raizx - 1(x - 1)(x^2 + x + 1) )
Simplificando o primeiro termo:
x - 1(x - 1)(x^2 + x + 1) = 1x^2 + x + 1

Passo 6

Para o segundo termo raizx - 1x - 1 cdot raizx + 1raizx + 1 = x - 1(x - 1)(raizx + 1) = 1raizx + 1 , reconhecemos que se , isso se assemelha à derivada de no ponto . Porém, para simplificar sem usar derivadas, podemos multiplicar o numerador e o denominador por :

Passo 7

Agora, substituímos de volta no limite:
lim x 1 ( 1x^2 + x + 1 + 1(raizx + 1)(x^2 + x + 1) )
Como todas as partes estão definidas quando 11^2 + 1 + 1 + 1(1 + 1)(1^2 + 1 + 1) = 13 + 12 times 3 = 13 + 16 = 26 + 16 = 36 = 12 , substituímos :

Resposta

O limite é igual a .

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