Determine, se existirem, os valores máximos e mínimos de cada função a seguir, no intervalo indicado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximos e mínimos da função
no intervalo
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de derivadas para identificar pontos críticos onde esses valores podem ocorrer.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a identificar onde a inclinação da função é zero ou não existe, o que pode indicar máximos ou mínimos.
A regra da cadeia vai ser útil aqui. Se
onde
, então:
Calculando
:
Então, a derivada completa fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Isso será zero quando:
Portanto, os pontos críticos são
.
Passo 4
Como estamos trabalhando em um intervalo fechado
, precisamos também verificar os valores da função nos extremos do intervalo. Os extremos são
e
. Já temos
como um ponto crítico, então vamos avaliar a função em
.
Passo 5
Vamos calcular
para cada um desses valores de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O menor valor de
é
em
e o maior valor é
em
.
Resposta
No intervalo
, a função
possui um mínimo de
em
e um máximo de
em
.