Determine, se existirem, os valores máximos e mínimos de cada função a seguir, no intervalo indicado: y = (x^2 - 1)^3, [-1, 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximos e mínimos da função no intervalo . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de derivadas para identificar pontos críticos onde esses valores podem ocorrer.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a identificar onde a inclinação da função é zero ou não existe, o que pode indicar máximos ou mínimos.
A regra da cadeia vai ser útil aqui. Se onde , então:
Calculando :
Então, a derivada completa fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Isso será zero quando:
Portanto, os pontos críticos são .

Passo 4

Como estamos trabalhando em um intervalo fechado , precisamos também verificar os valores da função nos extremos do intervalo. Os extremos são e . Já temos como um ponto crítico, então vamos avaliar a função em .

Passo 5

Vamos calcular para cada um desses valores de :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O menor valor de é em e o maior valor é em .

Resposta

No intervalo , a função possui um mínimo de em e um máximo de em .

Exercícios relacionados