1. Determine explicitamente uma subsequência convergente da sequência \left(\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{n}\right)_{n \geq 0}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n=\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^n
e pede para determinar explicitamente uma subsequência convergente. Vamos usar números complexos na forma polar/exponencial e a fórmula de De Moivre, explorando a periodicidade de e^{i\theta}.

Passo 2

Calculamos módulo e argumento de \tfrac{1+i}{\sqrt{2}}. Como
|1+i|=\sqrt{2},\qquad \arg(1+i)=\frac{\pi}{4},
segue que
\frac{1+i}{\sqrt{2}}=e^{i\pi/4}.

Passo 3

Pela fórmula de De Moivre, para todo n\ge0 temos
a_n=\bigl(e^{i\pi/4}\bigr)^n=e^{i\,n\pi/4}.

Passo 4

Como e^{i\theta} é 2\pi-periódico, ao escolhermos n=8k obtemos
a_{8k}=e^{i\,(8k)\pi/4}=e^{i\,2\pi k}=1.

Passo 5

Logo a subsequência
\bigl(a_{8k}\bigr)_{k\ge0}=\bigl(1,1,1,\dots\bigr)
é constante igual a 1 e, portanto, converge para 1.

Resposta

A subsequência
a_{8k}=\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{8k}=1,\quad k\ge0,
converge para 1.

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