Determine os extremos absolutos de f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}-2 x-2 y no quadrado [0,2] \times[0,2].
Passo 1
O enunciado pede: determinar os extremos absolutos da função f(x,y)=2x^{2}+y^{2}-2x-2y no quadrado [0,2]\times[0,2].
Informações dadas:
A função é f(x,y)=2x^{2}+y^{2}-2x-2y.
O domínio considerado é o quadrado \{(x,y)\mid 0\le x\le2,\\\ 0\le y\le2\}.
O que se quer: localizar e dar os valores do mínimo absoluto e do(s) máximo(s) absoluto(s) de f nesse domínio (pontos e valores).
Passo 2
Procurar pontos críticos no interior do quadrado: calcular as derivadas parciais e igualar a zero.
A derivada parcial em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}=4x-2.
A derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}=2y-2.
Igualando ambas a zero para achar pontos críticos:
4x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2},
2y-2=0 \quad\Rightarrow\quad y=1.
Portanto há um único ponto crítico no plano: \left(\tfrac{1}{2},1\right). Esse ponto está dentro do quadrado porque 0\le\tfrac{1}{2}\le2 e 0\le1\le2.
Explicação didática rápida: um ponto crítico interno é onde o gradiente \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y) se anula; esses pontos podem ser mínimo, máximo ou sela — para decidir usamos a matriz Hessiana.
Passo 3
Analisar a natureza do ponto crítico usando a matriz Hessiana.
A Hessiana de f é a matriz das segundas derivadas:
Para testar se é mínimo, verificamos se H é definida positiva. Uma forma simples: checar os menores principais:
Primeiro menor principal: 4>0.
Determinante: \det H = 4\cdot2-0=8>0.
Como ambos positivos, H é definida positiva, logo o ponto crítico é um mínimo estrito (local).
Mini-aula: matriz Hessiana definida positiva significa que a quadrática é “pontuda para cima” — isto garante mínimo local. Além disso, para essa função quadrática com Hessiana positiva definida, a função é convexa e o mínimo local é também mínimo global no plano. Mas como estamos restringidos ao quadrado, esse ponto interno será, em particular, um candidato a mínimo absoluto no domínio.
Lembrando que o quadrado é compacto (fechado e limitado), f atinge máximos e mínimos absolutos no domínio. Como já temos um mínimo interno \left(\tfrac{1}{2},1\right) com valor -\tfrac{3}{2}, resta verificar a fronteira (as arestas do quadrado) para garantir que não exista valor menor nem algum máximo absoluto interior (já sabemos que não há máximo interior porque f é convexa).
Estratégia para fronteira: analisar cada aresta do quadrado, reduzindo o problema a função de uma variável, encontrar extremos nessas arestas (derivada igual a zero ou nos extremos da aresta).
Passo 5
Aresta x=0, y\in[0,2].
f(0,y)=y^{2}-2y.
Derivada em relação a y: 2y-2=0\Rightarrow y=1 (está no intervalo).
Valores:
Conclusão nesta aresta: mínimo -\tfrac{1}{2} em \left(\tfrac{1}{2},2\right); máximo 4 em (2,2).
Passo 9
Reunir todos os candidatos e comparar os valores:
ponto crítico interno: \left(\tfrac{1}{2},1\right) com f=-\tfrac{3}{2}.
pontos críticos nas arestas e vértices:
(0,1) com f=-1.
\left(\tfrac{1}{2},0\right) e \left(\tfrac{1}{2},2\right) com f=-\tfrac{1}{2}.
(2,1) com f=3.
vértices (0,0) e (0,2) com f=0.
vértices (2,0) e (2,2) com f=4.
Compare os valores: o menor valor entre todos é -\tfrac{3}{2} no ponto interno \left(\tfrac{1}{2},1\right). O maior valor entre todos é 4, atingido nos pontos (2,0) e (2,2).
Observação útil: como f é uma forma quadrática com Hessiana definida positiva, f é convexa e o ponto crítico interno é mesmo mínimo global; o máximo em domínio compacto necessariamente ocorre na fronteira, e verificamos que é 4 nos cantos indicados.
Resposta
Mínimo absoluto: \displaystyle f\!\left(\tfrac{1}{2},1\right)=-\tfrac{3}{2} no ponto \left(\tfrac{1}{2},1\right).
Máximo absoluto: \displaystyle f(2,0)=f(2,2)=4 nos pontos (2,0) e (2,2).