Determine se f é uma função par, ímpar ou nenhuma das duas.
f(x)=\ln \left(\frac{x}{x-3 x^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a paridade da função
f(x)=\ln\!\Bigl(\frac{x}{\,x-3x^{3}\,}\Bigr).
Vamos usar o conceito de função par (quando f(-x)=f(x)) e função ímpar (quando f(-x)=-f(x)).

Passo 2

Primeiro simplificamos o argumento do logaritmo:
\frac{x}{x-3x^{3}} =\frac{x}{x\,(1-3x^{2})} =\frac{1}{1-3x^{2}}.
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f(x) =\ln\!\Bigl(\tfrac{1}{1-3x^{2}}\Bigr) =-\ln\bigl(1-3x^{2}\bigr).

Passo 3

O domínio de f exige 1-3x^{2}\neq 0, ou seja x\neq\pm\frac{1}{\sqrt{3}}. Portanto
\text{Dom}(f) =(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}})\cup(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}})\cup(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty),
que é simétrico em torno de 0, condição necessária para discutirmos paridade.

Passo 4

Agora calculemos f(-x):
f(-x) =-\ln\bigl(1-3(-x)^{2}\bigr) =-\ln\bigl(1-3x^{2}\bigr) =f(x).
Como f(-x)=f(x) para todo x no domínio, concluímos que f é par.

Resposta

A função f(x) é par.

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