Determine
tais que:
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar
tais que
Informações dadas/assumidas (pegando a convenção natural do problema):
- Interpretar
como o grupo de permutações do conjunto (normalmente denotado ). - A notação
significa primeiro aplicar e depois , ou seja . - A potência
de uma permutação significa compor consigo mesma vezes.
O objetivo é dar exemplos concretos dee em que satisfaçam a desigualdade acima.
Passo 2
Rápida revisão de conceitos úteis (sem pular etapas):
- Representação por ciclos: por exemplo, o ciclo
troca com e fixa . O ciclo envia , , . - Ordem de uma permutação: é o menor
tal que (identidade). Por exemplo, uma transposição como tem ordem porque . Um 3-ciclo como tem ordem . - Produto/composição de ciclos: compor permutações é fazer transformações sequenciais. Ex.:
significa aplicar primeiro, depois .
Passo 3
Escolha dos candidatos (uma escolha natural e simples):
- Tome
, uma transposição. - Tome
, outra transposição.
Ambos estão em. Vou mostrar que com essas escolhas a desigualdade desejada ocorre.
Passo 4
Calcular as potências
e
:
- Como
tem ordem , vale . Então
ou seja
.
- Analogamente,
, pois tem ordem .
Passo 5
Calcular
e sua potência cúbica:
- Primeiro compor
. Calcular ação em cada elemento (aplicar depois ): - Para
: , então . Logo . - Para
: , então . Logo . - Para
: , então . Logo .
- Para
- Assim
envia , ou seja
um 3-ciclo. Como
tem ordem
,
Passo 6
Calcular
e comparar:
- Já temos
e . - Logo
como já calculado no Passo 5.
- Comparando:
Como
, obtemos a desigualdade desejada.
Passo 7
Conclusão final e incentivo rápido:
- Encontramos explicitamente
e em (ou ) que violam a igualdade. Isso mostra na prática que, em geral, não se pode trocar potência e produto em grupos não comutativos. - Força aí: esse é um exemplo clássico e pequeno que costuma cair bem em prova — decorando esse par de transposições já resolve questões semelhantes.