Determine f, g \in S^{3} tais que:
(f \circ g)^{3} \neq f^{3} \circ g^{3}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar f,g\in S^{3} tais que
(f\circ g)^{3}\neq f^{3}\circ g^{3}.
Informações dadas/assumidas (pegando a convenção natural do problema):
  • Interpretar S^{3} como o grupo de permutações do conjunto \{1,2,3\} (normalmente denotado S_3).
  • A notação f\circ g significa primeiro aplicar g e depois f, ou seja (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • A potência h^{k} de uma permutação h significa compor h consigo mesma k vezes.
    O objetivo é dar exemplos concretos de f e g em S_3 que satisfaçam a desigualdade acima.

Passo 2

Rápida revisão de conceitos úteis (sem pular etapas):
  • Representação por ciclos: por exemplo, o ciclo (1\\\ 2) troca 1 com 2 e fixa 3. O ciclo (1\\\ 2\\\ 3) envia 1\mapsto2, 2\mapsto3, 3\mapsto1.
  • Ordem de uma permutação: é o menor m\ge1 tal que h^{m}=e (identidade). Por exemplo, uma transposição como (1\\\ 2) tem ordem 2 porque (1\\\ 2)^{2}=e. Um 3-ciclo como (1\\\ 2\\\ 3) tem ordem 3.
  • Produto/composição de ciclos: compor permutações é fazer transformações sequenciais. Ex.: (1\\\ 2)\circ(2\\\ 3) significa aplicar (2\\\ 3) primeiro, depois (1\\\ 2).

Passo 3

Escolha dos candidatos (uma escolha natural e simples):
  • Tome f=(1\\\ 2), uma transposição.
  • Tome g=(2\\\ 3), outra transposição.
    Ambos estão em S_3. Vou mostrar que com essas escolhas a desigualdade desejada ocorre.

Passo 4

Calcular as potências f^{3} e g^{3}:
  • Como f=(1\\\ 2) tem ordem 2, vale f^{2}=e. Então
f^{3}=f^{2}\circ f=e\circ f=f,
ou seja f^{3}=(1\\\ 2).
  • Analogamente, g^{3}=g, pois g=(2\\\ 3) tem ordem 2.

Passo 5

Calcular f\circ g e sua potência cúbica:
  • Primeiro compor f\circ g=(1\\\ 2)\circ(2\\\ 3). Calcular ação em cada elemento (aplicar g depois f):
    • Para 1: g(1)=1, então f(g(1))=f(1)=2. Logo (f\circ g)(1)=2.
    • Para 2: g(2)=3, então f(g(2))=f(3)=3. Logo (f\circ g)(2)=3.
    • Para 3: g(3)=2, então f(g(3))=f(2)=1. Logo (f\circ g)(3)=1.
  • Assim f\circ g envia 1\mapsto2\mapsto3\mapsto1, ou seja
f\circ g=(1\\\ 2\\\ 3),
um 3-ciclo. Como (1\\\ 2\\\ 3) tem ordem 3,
(f\circ g)^{3}=(1\\\ 2\\\ 3)^{3}=e.

Passo 6

Calcular f^{3}\circ g^{3} e comparar:
  • Já temos f^{3}=f=(1\\\ 2) e g^{3}=g=(2\\\ 3).
  • Logo
f^{3}\circ g^{3}=(1\\\ 2)\circ(2\\\ 3)=(1\\\ 2\\\ 3),
como já calculado no Passo 5.
  • Comparando:
(f\circ g)^{3}=e\quad\text{e}\quad f^{3}\circ g^{3}=(1\\\ 2\\\ 3).
Como e\neq(1\\\ 2\\\ 3), obtemos a desigualdade desejada.

Passo 7

Conclusão final e incentivo rápido:
  • Encontramos explicitamente f e g em S^{3} (ou S_3) que violam a igualdade. Isso mostra na prática que, em geral, não se pode trocar potência e produto em grupos não comutativos.
  • Força aí: esse é um exemplo clássico e pequeno que costuma cair bem em prova — decorando esse par de transposições já resolve questões semelhantes.

Resposta

f=(1\\\ 2),\\ g=(2\\\ 3)