Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
b) F(x, y) = -y i + x j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função f tal que . O conteúdo aqui envolve entender o que é um campo vetorial conservativo e como verificar essa propriedade. Para resolver, vamos precisar lembrar das condições que fazem um campo ser conservativo e aplicar umas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Um campo é conservativo se ele for o gradiente de alguma função escalar f. Isso significa que o trabalho realizado por F ao longo de qualquer caminho fechado é zero. Na prática, em duas dimensões, uma condição simples para verificar se o campo é conservativo é calcular as derivadas parciais das componentes do campo e ver se elas satisfazem a igualdade , onde .

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso campo . Aqui, e . Calculando as derivadas parciais:
Agora, verificamos se . Substituindo, temos , ou seja, . Como a igualdade não se cumpre, isso significa que o campo F não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é um campo vetorial conservativo.

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