Determine e faça um esboço do gráfico de cada função real de duas variáveis reais abaixo:
(f) G(x, y) = -raiz(1 - x^2 - y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar e esboçar o gráfico da função de duas variáveis . Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies no espaço tridimensional e a condição para que a expressão dentro da raiz quadrada seja válida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é o domínio dessa função. A expressão dentro da raiz, , precisa ser maior ou igual a zero para que a função seja real. Então, temos:
Isso significa que:
Esse é o conjunto de pontos que formam um círculo de raio 1 no plano .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Essa função nos dá a coordenada em termos de e . O negativo na frente da raiz indica que estamos lidando com a parte inferior da superfície.

Passo 4

A equação representa a parte inferior de uma esfera com raio 1, centrada na origem . Normalmente, a equação completa de uma esfera é:
Resolvendo para , temos duas partes:
Nossa função corresponde à parte inferior dessa esfera.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos desenhar o círculo no plano . Em seguida, representamos a parte inferior da esfera conectando os pontos do círculo ao vértice inferior da esfera, que está em .

Resposta

O gráfico da função é a parte inferior de uma esfera de raio 1 centrada na origem. O esboço mostra um semicírculo invertido para cada ponto dentro do círculo , formando uma esfera abaixo do plano .

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