Determine e faça um esboço do gráfico de cada função real de duas variáveis reais abaixo:
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar e esboçar o gráfico da função de duas variáveis
. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies no espaço tridimensional e a condição para que a expressão dentro da raiz quadrada seja válida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é o domínio dessa função. A expressão dentro da raiz,
, precisa ser maior ou igual a zero para que a função seja real. Então, temos:
Isso significa que:
Esse é o conjunto de pontos
que formam um círculo de raio 1 no plano
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Essa função nos dá a coordenada
em termos de
e
. O negativo na frente da raiz indica que estamos lidando com a parte inferior da superfície.
Passo 4
A equação
representa a parte inferior de uma esfera com raio 1, centrada na origem
. Normalmente, a equação completa de uma esfera é:
Resolvendo para
, temos duas partes:
Nossa função
corresponde à parte inferior dessa esfera.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos desenhar o círculo
no plano
. Em seguida, representamos a parte inferior da esfera conectando os pontos do círculo ao vértice inferior da esfera, que está em
.
Resposta
O gráfico da função
é a parte inferior de uma esfera de raio 1 centrada na origem. O esboço mostra um semicírculo invertido para cada ponto
dentro do círculo
, formando uma esfera abaixo do plano
.