Determine os fasores correspondentes aos seguintes sinais:
i(t)=-8 \operatorname{sen}\left(10 t+70^{\circ}\right) \mathrm{mA}

Passo 1

O enunciado dá o sinal
i(t) = -8 \operatorname{sen}\bigl(10t + 70^{\circ}\bigr)\\ \mathrm{mA}
e pede “determinar os fasores correspondentes”. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Amplitude (pico) presente no tempo: -8 (unidade \mathrm{mA}).
  • Frequência angular: \omega = 10\\ \mathrm{rad/s}.
  • Fase no argumento do seno: 70^{\circ}.
  • Pedido: escrever o(s) fasor(es) que representam esse sinal no domínio complexo (phasor).

Passo 2

O que é um fasor (explicação didática)?\n
  • Um fasor é uma representação complexa (módulo e ângulo) de uma senoide no domínio da frequência, desprezando a dependência temporal \cos(\omega t) explícita. Serve para simplificar operações com senos e cossenos (somas, multiplicações por impedâncias, etc.).\n
  • Convenção mais usada: referenciar a senoide pela forma cosseno. Ou seja, se tivermos
x(t)=X_m\cos(\omega t+\varphi),
o fasor associado (forma de pico) é
X = X_m \angle \varphi.
Aqui X_m é o valor de pico (amplitude máxima) e \varphi é a fase em graus; o fasor é um número complexo cuja magnitude é X_m e cujo argumento é \varphi.\n
  • Observação importante: se quiser o fasor em valor eficaz (RMS), divide-se a amplitude de pico por \sqrt{2}: X_{\mathrm{rms}} = \dfrac{X_m}{\sqrt{2}}\angle\varphi.

Passo 3

Transformar o seno em cosseno (porque usamos a convenção cosseno para definir o fasor). Usamos a identidade trigonométrica
\sin(\theta)=\cos\bigl(\theta-90^{\circ}\bigr).
Aplicando ao sinal dado:
i(t) = -8\sin\bigl(10t+70^{\circ}\bigr) = -8\cos\bigl(10t+70^{\circ}-90^{\circ}\bigr) = -8\cos\bigl(10t-20^{\circ}\bigr).
Expliquei cada passo: primeiro substituí \sin por \cos(\cdot-90^\circ), depois juntei as fases 70^\circ-90^\circ=-20^\circ.

Passo 4

Tratar o sinal com coeficiente negativo. Uma amplitude negativa pode ser interpretada como uma amplitude positiva com deslocamento de fase de 180^{\circ}:
-8\cos\bigl(10t-20^{\circ}\bigr) = 8\cos\bigl(10t-20^{\circ}+180^{\circ}\bigr) = 8\cos\bigl(10t+160^{\circ}\bigr).
Aqui eu usei que -A\cos(\theta)=A\cos(\theta+180^\circ). Isso nos deixa na forma padrão X_m\cos(\omega t+\varphi) com X_m=8 e \varphi=160^\circ.

Passo 5

Extrair o fasor (forma de pico, referência cosseno): a partir de
i(t)=8\cos\bigl(10t+160^{\circ}\bigr)\\ \mathrm{mA},
o fasor (pico) é
I = 8\angle 160^{\circ}\\ \mathrm{mA}.
Explicando: a magnitude do fasor é o pico 8\\ \mathrm{mA} e o ângulo é 160^\circ.\n
Se quisermos o fasor em valor eficaz (RMS), dividimos a magnitude por \sqrt{2}:
I_{\mathrm{rms}}=\frac{8}{\sqrt{2}}\angle 160^{\circ}\\ \mathrm{mA} \approx 5,657\angle 160^{\circ}\\ \mathrm{mA}.

Passo 6

Observação sobre outra convenção (opcional, para você ficar esperto na prova): se alguém usar referência direta ao seno (em vez do cosseno), podia interpretar o fasor diretamente a partir de \sin. Nesse caso o sinal original daria o fasor (pico, referência seno)
I_{\text{seno}} = -8\angle 70^{\circ}\\ \mathrm{mA}.
Isso é apenas uma mudança de referência; para evitar confusão, prefira sempre converter para cosseno e dar o fasor como em I=8\angle160^{\circ}.

Resposta

I = 8\angle 160^{\circ}\\ \mathrm{mA} (fasor de pico, referência cosseno)
I_{\mathrm{rms}} = \dfrac{8}{\sqrt{2}}\angle 160^{\circ}\\ \mathrm{mA} \approx 5,657\angle 160^{\circ}\\ \mathrm{mA}
(Alternativa com referência seno: I_{\text{seno}} = -8\angle 70^{\circ}\\ \mathrm{mA})

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