Determine os fasores correspondentes aos seguintes sinais:
v(t)=21 \cos \left(4 t-15^{\circ}\right) \mathrm{V}

Passo 1

O enunciado dá o sinal
v(t)=21\cos\bigl(4t-15^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}.
O que é pedido: determinar os fasores correspondentes a esse sinal. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • amplitude (valor de pico) V_m=21 V;
  • frequência angular \omega=4 rad/s (informação útil para associar o fasor à frequência, mas não altera o número complexo do fasor);
  • fase \varphi=-15^\circ.
    Nenhuma outra informação foi fornecida.

Passo 2

O que é um fasor (explicação didática, sem pular etapas):
  • Um fasor é uma representação complexa (número complexo) que resume a amplitude e a fase de um sinal senoidal no domínio da frequência. Ele “congela” a dependência temporal \cos(\omega t+\varphi) e representa apenas a amplitude e a fase.
  • Se tivermos um sinal genérico
v(t)=V_m\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
o fasor de pico (usado às vezes) é
\underline{V}_{\text{pico}}=V_m\angle\varphi \quad\text{(ou)}\quad V_m e^{j\varphi},
onde V_m é a magnitude de pico e \varphi é a fase (em graus ou radianos). Aqui j é a unidade imaginária.
  • Outra convenção muito comum em engenharia é usar o valor eficaz (RMS). O valor eficaz relaciona-se com o pico por
V_{\text{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}.
O fasor RMS é então
\underline{V}_{\text{rms}}=V_{\text{rms}}\angle\varphi=\frac{V_m}{\sqrt{2}}\angle\varphi.
  • Tanto faz usar pico ou RMS desde que você seja consistente: em cálculos de circuito é comum usar fasores em RMS; em representações puras de amplitude pode-se usar pico. Vou apresentar os dois (pico e RMS) e também a forma retangular (parte real e imaginária), porque isso ajuda muito na prova.

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao nosso sinal: temos V_m=21 e \varphi=-15^\circ. Portanto o fasor de pico em forma polar é simplesmente
\underline{V}_{\text{pico}}=21\angle -15^\circ.
O fasor RMS em forma polar é
\underline{V}_{\text{rms}}=\frac{21}{\sqrt{2}}\angle -15^\circ.
Agora vamos converter essas formas polares para a forma retangular (mais prática para somar/subtrair fasores).

Passo 4

Conversão polar → retangular (relembre a fórmula):
Se A\angle\theta é um número em forma polar, a forma retangular é
A\angle\theta = A\bigl(\cos\theta + j\sin\theta\bigr).
No nosso caso usamos \theta=-15^\circ. Primeiro calculemos os cosseno e seno:
\cos 15^\circ \approx 0,9659258263,\qquad \sin 15^\circ \approx 0,2588190451.
Como \theta=-15^\circ, \cos(-15^\circ)=\cos 15^\circ e \sin(-15^\circ)=-\sin 15^\circ.

Passo 5

Cálculo do fasor de pico em forma retangular (detalhado passo a passo):
  • parte real: \Re\{\underline{V}_{\text{pico}}\}=21\cos(-15^\circ)=21\cdot 0,9659258263.
    Calcule: 21\cdot 0,9659258263\approx 20,284.
  • parte imaginária: \Im\{\underline{V}_{\text{pico}}\}=21\sin(-15^\circ)=21\cdot(-0,2588190451).
    Calcule: 21\cdot(-0,2588190451)\approx -5,435.
    Portanto, em forma retangular,
\underline{V}_{\text{pico}}\approx 20,284 - j\,5,435\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Cálculo do fasor RMS em forma retangular (passo a passo):
  • primeiro V_{\text{rms}}=\dfrac{21}{\sqrt{2}}. Sabendo \sqrt{2}\approx 1,414213562,
V_{\text{rms}}\approx \frac{21}{1,414213562}\approx 14,849.
  • parte real: \Re\{\underline{V}_{\text{rms}}\}=V_{\text{rms}}\cos(-15^\circ)\approx 14,849\cdot 0,9659258263\approx 14,353.
  • parte imaginária: \Im\{\underline{V}_{\text{rms}}\}=V_{\text{rms}}\sin(-15^\circ)\approx 14,849\cdot(-0,2588190451)\approx -3,843.
    Portanto,
\underline{V}_{\text{rms}}\approx 14,353 - j\,3,843\\ \mathrm{V}.

Resposta

Fasor (amplitude de pico): \underline{V}_{\text{pico}}=21\angle -15^\circ\\ \mathrm{V}=20,284 - j\,5,435\\ \mathrm{V}
Fasor (valor eficaz RMS): \underline{V}_{\text{rms}}=\dfrac{21}{\sqrt{2}}\angle -15^\circ\\ \mathrm{V}\approx 14,353 - j\,3,843\\ \mathrm{V}

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