Determine o fluxo do campo vetorial
F=ln (x^2+y^2) i-(2 zx tg^-1 yx) j+z raizx^2+y^2 k
Sendo S as superfícies entre os cilindro de paredes espessas 1 <= x^2+y^2 <= 2 e -1 <= z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o fluxo de um campo vetorial específico através de uma superfície S, que está delimitada entre dois cilindros de raios raiz1 e raiz2, e entre as alturas z = -1 e z = 2. Vamos usar o conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência, que nos ajuda a calcular fluxos através de superfícies fechadas de forma mais fácil. Para isso, vamos precisar calcular a divergência do campo vetorial e depois integrar essa divergência sobre o volume delimitado pela superfície S.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência de um campo vetorial F = Pi + Qj + Rk é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
No nosso caso, temos:
P = ln(x^2+y^2), Q = -(2 zx tan^-1 yx), R = z raizx^2+y^2
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada de P em relação a x:
partial Ppartial x = partialpartial x ln(x^2+y^2) = 2xx^2 + y^2
  1. Derivada de Q em relação a y:
Primeiro, derivamos tan^-1 yx em relação a y:
partialpartial y tan^-1 yx = xx^2 + y^2
Então,
partial Qpartial y = partialpartial y (-2zx tan^-1 yx) = -2zx cdot xx^2 + y^2 = -2zx^2 + y^2
  1. Derivada de R em relação a z:
partial Rpartial z = partialpartial z (z raizx^2+y^2) = raizx^2+y^2
Agora, somando todas as derivadas parciais:
nabla cdot F = 2xx^2 + y^2 - 2zx^2 + y^2 + raizx^2+y^2

Passo 3

Agora que temos a divergência, vamos usar o Teorema da Divergência que nos diz que o fluxo através da superfície fechada S é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume V delimitado por S:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Como a região tem simetria cilíndrica, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas, onde x = rcostheta, y = rsintheta, e z = z. Nessas coordenadas, temos que x^2 + y^2 = r^2 e o elemento de volume é dV = r,dr,dtheta,dz.
Vamos reescrever a divergência em coordenadas cilíndricas:
nabla cdot F = 2xr^2 - 2zr^2 + r = 2rcosthetar^2 - 2zr^2 + r = 2costhetar - 2zr^2 + r

Passo 4

Agora, configuramos os limites de integração. A região V está entre os cilindros de r = 1 e r = raiz2, e entre z = -1 e z = 2. O ângulo theta varia de 0 a 2pi. Então, a integral tripla fica:
integral triplaV ( 2costhetar - 2zr^2 + r ) r,dr,dtheta,dz
Simplificando a expressão dentro da integral:
= integral triplaV ( 2costheta - 2zr + r^2 ) dr,dtheta,dz
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integral de 2costheta:
integral0^2pi 2costheta , dtheta = 0
Isso porque a integral de costheta de 0 a 2pi é zero.
  1. Integral de -2zr:
Como z varia de -1 a 2, a integral em z fica:
integral-1^2 -2zr , dz = -2r [ z^22 ]-1^2 = -2r ( 42 - 12 ) = -2r ( 32 ) = -3r
Então, multiplicando pela integral em r:
integral1^raiz2 -3r cdot r , dr = -3 integral1^raiz2 dr = -3 ( raiz2 - 1 )
  1. Integral de r^2:
integral1^raiz2 r^2 cdot 2pi r , dr = 2pi integral1^raiz2 r^3 , dr = 2pi [ r^44 ]1^raiz2 = 2pi ( (2)^24 - 14 ) = 2pi ( 44 - 14 ) = 2pi ( 34 ) = 3pi2

Resposta

Somando todos os termos, o fluxo do campo vetorial F através da superfície S é:
Phi = -3 (raiz2 - 1) + 3pi2 = 3(1 - raiz2) + 3pi2

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