Determine:
\frac{d}{d x}\left[\sin \left(x^{2}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
\sin\left(x^{2}\right).
Ou seja, devemos encontrar
\frac{d}{dx}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right].
Informações dadas: a expressão é uma função composta — a função seno aplicada a x^{2}. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Conceito que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicar com calma o que é e por que serve.
Se tivermos uma função composta h(x)=g(u(x)), a regra da cadeia diz que a derivada de h em relação a x é
h'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui:
  • u(x) é a função interna (ela depende de x);
  • g(u) é a função externa (ela depende de u);
  • g'(u) é a derivada de g em relação a u;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
Exemplo curto e intuitivo: para g(u)=\sin(u) temos g'(u)=\cos(u) porque a derivada de \sin é \cos. Então, se h(x)=\sin(u(x)), pela regra da cadeia
h'(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Identificar as partes na nossa função:
  • função externa g(u)=\sin(u);
  • função interna u(x)=x^{2}.
Derivada da função externa:
g'(u)=\cos(u).
Derivada da função interna:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
(Explicação rápida: usar a regra do poder, que diz que \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}; aqui n=2, logo 2x.)

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia juntando os resultados:
\frac{d}{dx}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x.
Reescrevendo de forma mais usual:
\frac{d}{dx}\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]=2x\cos\left(x^{2}\right).

Passo 5

Para fixar, veja dois exemplos parecidos:
  • Se f(x)=\sin(3x), então f'(x)=3\cos(3x).
  • Se f(x)=\sin(x^{3}), então f'(x)=3x^{2}\cos(x^{3}).
Nos dois casos aplicou-se exatamente a mesma ideia: derivar a parte externa ( \sin \cos) e multiplicar pela derivada da parte interna.

Resposta

2x\cos\left(x^{2}\right)