Determine \frac{d z}{d t}, onde:
z=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right) \cos \left(y^{2}\right), x=\pi t, y=\sqrt{t}.

Passo 1

O enunciado dá
z = \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,\cos\bigl(y^{2}\bigr),\quad x = \pi t,\quad y = \sqrt{t},
e pede \tfrac{d z}{d t}. O conteúdo envolve derivada de função de duas variáveis composta com variáveis dependentes de t, então vamos usar a regra da cadeia:
\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{d x}{d t} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{d y}{d t}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como
z = \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,\cos\bigl(y^{2}\bigr),
temos
\frac{\partial z}{\partial x} = \bigl(\cos(x^{2})\cdot 2x\bigr)\,\cos(y^{2}) = 2x\,\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,\cos\bigl(y^{2}\bigr),
\frac{\partial z}{\partial y} = \sin(x^{2})\,\bigl(-\sin(y^{2})\cdot 2y\bigr) = -2y\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,\sin\bigl(y^{2}\bigr).

Passo 3

Derivamos x e y em relação a t:
\frac{d x}{d t} = \frac{d}{d t}(\pi t) = \pi, \qquad \frac{d y}{d t} = \frac{d}{d t}(t^{1/2}) = \frac{1}{2\sqrt{t}}.

Passo 4

Substituímos tudo na regra da cadeia:
\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{d x}{d t} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{d y}{d t}.
Com os valores obtidos e lembrando que x=\pi t, y=\sqrt t:
\frac{d z}{d t} = \Bigl[2x\,\cos(x^{2})\,\cos(y^{2})\Bigr]\!\cdot\!\pi \;+\;\Bigl[-2y\,\sin(x^{2})\,\sin(y^{2})\Bigr]\!\cdot\!\frac{1}{2\sqrt{t}}.

Passo 5

Agora simplificamos e usamos x=\pi t, y=\sqrt t, y/\sqrt t=1, x^{2}=(\pi t)^{2}, y^{2}=t:
\frac{d z}{d t} = 2\pi\,x\,\cos(x^{2})\,\cos(y^{2}) \;-\;y\cdot\frac{1}{\sqrt t}\,\sin(x^{2})\,\sin(y^{2}) = 2\pi^{2}t\,\cos\bigl(\pi^{2}t^{2}\bigr)\,\cos(t) \;-\;\sin\bigl(\pi^{2}t^{2}\bigr)\,\sin(t).

Resposta

\frac{d z}{d t} = 2\pi^{2}t\,\cos\bigl(\pi^{2}t^{2}\bigr)\,\cos(t) \;-\;\sin\bigl(\pi^{2}t^{2}\bigr)\,\sin(t).

Exercícios relacionados