Determine a freqüência para qual um capacitor de 500 \mu \mathrm{~F} apresenta as seguintes reatâncias:
100 \Omega;

Passo 1

O enunciado pede para determinar a frequência para a qual um capacitor de 500\,\mu\mathrm{F} apresenta reatância igual a 100\,\Omega.
Informações dadas:
C = 500\,\mu\mathrm{F},\qquad X_C = 100\,\Omega
onde C é a capacitância e X_C é a reatância capacitiva.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que relaciona a reatância capacitiva com a frequência. A reatância capacitiva é dada por
X_C=\frac{1}{2\pi f C},
onde:
  • X_C é a reatância capacitiva em ohms ( \Omega);
  • f é a frequência em hertz ( \mathrm{Hz});
  • C é a capacitância em farads ( \mathrm{F});
  • \pi é a constante \approx 3{,}1416.
    Essa fórmula vem do fato de que a impedância de um capacitor em regime senoidal é Z_C=\dfrac{1}{j\omega C} com \omega=2\pi f, e o módulo dessa impedância é X_C=1/(\omega C).

Passo 3

Agora vamos isolar f na fórmula. Partimos de
X_C=\frac{1}{2\pi f C}.
Multiplicando ambos os lados por 2\pi f C e dividindo por X_C, obtemos
f=\frac{1}{2\pi C X_C}.

Passo 4

Converta a capacitância para farads. Sabendo que 1\,\mu\mathrm{F}=10^{-6}\,\mathrm{F},
C=500\,\mu\mathrm{F}=500\times10^{-6}\,\mathrm{F}=5\times10^{-4}\,\mathrm{F}.

Passo 5

Substituímos C e X_C na expressão encontrada para f:
f=\frac{1}{2\pi\cdot(5\times10^{-4})\cdot 100}.
Calcule o produto no denominador passo a passo:
(5\times10^{-4})\cdot 100 = 5\times10^{-2}=0{,}05,
logo
2\pi\cdot 0{,}05 = 0{,}1\pi.
Portanto
f=\frac{1}{0{,}1\pi}=\frac{10}{\pi}.

Passo 6

Agora faça a aproximação numérica usando \pi\approx3{,}1416:
f\approx\frac{10}{3{,}1416}\approx3{,}1831\\ \mathrm{Hz}.
Verificação rápida de unidades: o denominador tinha 2\pi (adimensional) vezes C em farads e X_C em ohms; como \mathrm{F}\cdot\Omega=\mathrm{s} (segundos), o inverso dá \mathrm{Hz} — unidades coerentes.

Resposta

\displaystyle f\approx 3{,}1831\\ \mathrm{Hz}

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