São dadas a seguir expressões para a corrente ou tensão em uma reatância capacitiva de 20 \Omega. Determine a expressão senoidal para a tensão ou corrente, conforme o caso.
v(t)=10 \cdot \operatorname{sen}\left(377 \cdot t+45^{\circ}\right);

Passo 1

O enunciado dá a tensão aplicada numa reatância capacitiva de 20\\ \Omega e pede a expressão senoidal da corrente. Dados fornecidos:
v(t)=10\cdot \operatorname{sen}\bigl(377\cdot t+45^\circ\bigr)
X_C = 20\\ \Omega
O que precisamos encontrar: a expressão senoidal de i(t) (a corrente) no tempo.

Passo 2

Conceito essencial (passo-a-passo didático): a relação entre tensão e corrente num capacitor.
  • Na forma temporal, a corrente num capacitor é dada por
i(t)=C\frac{dv(t)}{dt},
onde C é a capacitância. Aqui eu ainda não sei C, mas sei a reatância capacitiva X_C.
  • A reatância capacitiva relaciona-se com C e a pulsação \omega por
X_C=\frac{1}{\omega C}.
Isolando C obtemos
C=\frac{1}{\omega X_C}.
  • Substituindo em i(t)=C\,dv/dt temos
i(t)=\frac{1}{\omega X_C}\frac{dv(t)}{dt}.
Isso é útil porque permite calcular a corrente apenas com v(t), \omega e X_C, sem precisar do valor de C.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao seno dado. Primeiro calcule a derivada de v(t). Se
v(t)=V_m\operatorname{sen}(\omega t+\varphi),
então
\frac{dv(t)}{dt}=V_m\omega\operatorname{cos}(\omega t+\varphi).
Lembre que \operatorname{cos}(x)=\operatorname{sen}(x+90^\circ). Logo a derivada equivale a um seno com fase aumentada de 90^\circ, e a amplitude é multiplicada por \omega.

Passo 4

Usando o resultado do Passo 2 com a derivada do Passo 3:
i(t)=\frac{1}{\omega X_C}\,V_m\omega\operatorname{cos}(\omega t+\varphi) = \frac{V_m}{X_C}\operatorname{cos}(\omega t+\varphi).
Convertendo de cosseno para seno:
\operatorname{cos}(\omega t+\varphi)=\operatorname{sen}\bigl(\omega t+\varphi+90^\circ\bigr).
Portanto, de forma geral,
i(t)=\frac{V_m}{X_C}\operatorname{sen}\bigl(\omega t+\varphi+90^\circ\bigr).
Isto mostra duas coisas importantes (lembre-se para a prova):
  • a amplitude da corrente é \dfrac{V_m}{X_C};
  • a corrente em capacitor “antecede” (lead) a tensão em 90^\circ.

Passo 5

Agora substituímos os valores do enunciado: \;V_m=10,\;\omega=377,\;\varphi=45^\circ,\;X_C=20.
Amplitude da corrente:
I_m=\frac{V_m}{X_C}=\frac{10}{20}=0,5\\ (\text{amperes}).
Fase da corrente:
\phi_I=\varphi+90^\circ=45^\circ+90^\circ=135^\circ.

Passo 6

Escrevendo a corrente no tempo com unidade:
i(t)=0,5\cdot \operatorname{sen}\bigl(377\cdot t+135^\circ\bigr)\\ \text{A}.

Resposta

i(t)=0,5\cdot \operatorname{sen}\bigl(377\cdot t+135^\circ\bigr)\\ \text{A}

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