Determine uma função afim f ; \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} cujo gráfico contém os pontos
(1,4) e (3,-2).

Passo 1

O enunciado pede que se determine uma função afim f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} cujo gráfico contém os pontos (1,4) e (3,-2).
Informações dadas:
  • Um ponto do gráfico é (x_1,y_1)=(1,4).
  • Outro ponto do gráfico é (x_2,y_2)=(3,-2).
  • A busca é pela função afim que passa por esses dois pontos.

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma função afim e o que cada símbolo nela significa. Uma função afim tem a forma
f(x)=ax+b.
Aqui:
  • a é o coeficiente angular (a inclinação/declive da reta). Ele diz quanto a ordenada y muda quando x aumenta de uma unidade.
  • b é o coeficiente linear (a ordenada na origem), isto é, o valor de f(0).
    Para determinar a função afim que passa por dois pontos distintos basta encontrar a e b que satisfaçam as coordenadas dadas.

Passo 3

Para encontrar a usamos a razão de variação entre os dois pontos (a diferença de y dividida pela diferença de x):
a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Substituindo (x_1,y_1)=(1,4) e (x_2,y_2)=(3,-2) obtemos
a=\frac{-2-4}{3-1}=\frac{-6}{2}=-3.

Passo 4

Com a=-3 encontramos b usando que o ponto (1,4) satisfaz f(1)=4. Substituindo na forma f(x)=ax+b temos
4 = a\cdot 1 + b.
Como a=-3, segue
4 = -3 + b.
Isolando b vem
b = 4+3 = 7.

Passo 5

Escrevendo a função com os valores encontrados:
f(x) = -3x + 7.
Vamos checar rapidamente que o outro ponto (3,-2) também satisfaz a função. Calculando f(3):
f(3) = -3\cdot 3 + 7 = -9 + 7 = -2,
o que coincide com a ordenada do ponto dado. Portanto a função está correta.

Resposta

f(x)=-3x+7