Determine se a função dada é ou não derivável no valor dado. Em caso afirmativo, calcule a derivada. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}-1}{x-1}, & \text { se } x \neq 1, \\\\ 1, & \text { se } x=1\end{array}\right. em x_{0}=1
e pede para determinar se f é derivável em x_{0}=1. Se for, calcular a derivada em x_{0}=1.
Informações relevantes que temos:
A expressão \frac{x^{3}-1}{x-1} define f(x) somente para x\neq 1.
O valor de f no ponto x=1 foi dado explicitamente: f(1)=1.
Precisamos verificar derivabilidade em x_{0}=1 (isto envolve continuidade e o limite do quociente incremental).]
Passo 2
Vou lembrar duas coisas importantes, devagarinho e sem pressa:
Definição de derivada num ponto: a função f é derivável em a se o limite abaixo existe finito:
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Se esse limite existe, seu valor é a derivada.
Conexão com continuidade: se f é derivável em a, então f é necessariamente contínua em a. Ou seja, derivabilidade implica continuidade. Portanto, antes de tentar calcular o limite do quociente incremental, sempre vale a pena checar se f é contínua em a. Se não for contínua, imediatamente concluímos que não é derivável.
Passo 3
Vamos estudar o comportamento da expressão para x\neq 1. Observe que x^{3}-1 é uma diferença de cubos; fatoramos assim:
Como o limite de f(x) quando x\to 1 não coincide com o valor f(1), a função f é descontínua em x=1. Pelo argumento do Passo 2 (derivabilidade implica continuidade), f não pode ser derivável em x=1. Não há necessidade de calcular o limite do quociente incremental porque a falta de continuidade já impede a existência da derivada.