Determine se a função dada é ou não derivável no valor dado. Em caso afirmativo, calcule a derivada.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}-1}{x-1}, & \text { se } x \neq 1, \\\\ 1, & \text { se } x=1\end{array}\right. em x_{0}=1

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x^{3}-1}{x-1}, & \text{se } x\neq 1,\\[6pt] 1, & \text{se } x=1, \end{cases}
e pede para determinar se f é derivável em x_{0}=1. Se for, calcular a derivada em x_{0}=1.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão \frac{x^{3}-1}{x-1} define f(x) somente para x\neq 1.
  • O valor de f no ponto x=1 foi dado explicitamente: f(1)=1.
  • Precisamos verificar derivabilidade em x_{0}=1 (isto envolve continuidade e o limite do quociente incremental).]

Passo 2

Vou lembrar duas coisas importantes, devagarinho e sem pressa:
Definição de derivada num ponto: a função f é derivável em a se o limite abaixo existe finito:
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Se esse limite existe, seu valor é a derivada.
Conexão com continuidade: se f é derivável em a, então f é necessariamente contínua em a. Ou seja, derivabilidade implica continuidade. Portanto, antes de tentar calcular o limite do quociente incremental, sempre vale a pena checar se f é contínua em a. Se não for contínua, imediatamente concluímos que não é derivável.

Passo 3

Vamos estudar o comportamento da expressão para x\neq 1. Observe que x^{3}-1 é uma diferença de cubos; fatoramos assim:
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Para x\neq 1 podemos simplificar a fração:
\frac{x^{3}-1}{x-1}=x^{2}+x+1 \qquad\text{(para }x\neq 1\text{)}.
Portanto, para x próximos de 1 (mas diferentes de 1), f(x)=x^{2}+x+1.

Passo 4

Calcule o limite da função quando x\to 1 usando a expressão simplificada (um polinômio é contínuo, então basta substituir):
\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}(x^{2}+x+1)=1^{2}+1+1=3.
Mas pelo enunciado temos f(1)=1. Logo
\lim_{x\to 1}f(x)=3 \neq f(1)=1.

Passo 5

Como o limite de f(x) quando x\to 1 não coincide com o valor f(1), a função f é descontínua em x=1. Pelo argumento do Passo 2 (derivabilidade implica continuidade), f não pode ser derivável em x=1. Não há necessidade de calcular o limite do quociente incremental porque a falta de continuidade já impede a existência da derivada.

Resposta

A função não é derivável em x_{0}=1.

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