Determine se a função dada é ou não derivável no valor dado. Em caso afirmativo, calcule a derivada.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos x, & \text { se } x \leq 0, \\\ x^{2}+1, & \text { se } x>0\end{array}\right. em x_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} \cos x, & \text{se } x\le 0,\\[4pt] x^{2}+1, & \text{se } x>0, \end{cases}
e pede para determinar se f é derivável em x_{0}=0. Caso seja derivável, pede também o valor da derivada em 0.
Informações relevantes dadas: o valor de f à esquerda de 0 \cos x), o valor de f à direita de 0 x^{2}+1) e o ponto onde devemos investigar a derivabilidade ( x_{0}=0).]

Passo 2

Primeiro passo técnico: verificar continuidade em x_{0}=0, porque uma função só pode ser derivável num ponto se for contínua nesse ponto. A condição de continuidade em 0 é que
\lim_{x\to0^-} f(x)=f(0)=\lim_{x\to0^+} f(x).
Calculamos cada termo. O valor da função em 0 vem da definição para x\le 0, então
f(0)=\cos 0=1.
Agora os limites laterais:
\lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^-} \cos x=\cos 0=1,
pois a função \cos x é contínua. E
\lim_{x\to0^+} f(x)=\lim_{x\to0^+} (x^{2}+1)=0^{2}+1=1,
pois x^{2}+1 é contínua. Como os dois limites laterais e o valor f(0) são iguais a 1, concluímos que f é contínua em 0.

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada à esquerda em 0. Usamos a definição da derivada lateral (quociente incremental à esquerda):
f_{-}'(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Para h<0 suficientemente pequeno, 0+h<0 e vale a parte \cos x. Então
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\cos h-1}{h}.
Precisamos do limite quando h\to0^- (que dará o mesmo que h\to0 por simetria, se existir). Para avaliar
\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h},
usamos a identidade trigonométrica \cos h-1=-2\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr). Assim
\frac{\cos h-1}{h}=-2\frac{\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{h}.
Como \sin\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)\sim \tfrac{h}{2} quando h\to0, o numerador é da ordem de h^{2} e portanto o quociente tende a 0. Mais formalmente, note que
\left|\frac{\cos h-1}{h}\right|=2\left|\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{h}\right|\left|\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)\right| = \left|\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)\right|\cdot\frac{2\left|\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)\right|}{|h|}\le C|h|
para h perto de 0, portanto o limite é 0. Assim
f_{-}'(0)=0.
(Obs.: este é também o resultado imediato sabendo que a derivada de \cos x é -\sin x, e em 0 -\sin 0=0. Mostrei acima por limite para ficar bem didático.)

Passo 4

Agora calculamos a derivada à direita em 0 pela definição:
f_{+}'(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Para h>0 pequeno, 0+h>0 e usamos f(x)=x^{2}+1. Então
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{(h^{2}+1)-1}{h}=\frac{h^{2}}{h}=h.
Tomando o limite quando h\to0^+, obtemos
f_{+}'(0)=\lim_{h\to0^+} h=0.
(De novo, corresponde ao fato de que a derivada de x^{2}+1 é 2x, e em 0 vale 0. Mostrei por quociente incremental porque isso é a definição.)

Passo 5

Condição final para derivabilidade em um ponto: se a função é contínua em 0 e as derivadas laterais existem e são iguais, então a derivada em 0 existe e é esse valor comum. Aqui verificamos: a função é contínua em 0, f_{-}'(0)=0 e f_{+}'(0)=0. Como os dois lados coincidem, concluímos que f é derivável em 0 e
f'(0)=0.

Resposta

A função é derivável em x_{0}=0.
f'(0)=0

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