Determine a função densidade de probabilidade para cada uma das seguintes funções acumuladas de probabilidade. F(x)=\left\{\begin{array}{cr}0, & x<0, \\\\ 0,2 x, & 0 \leqslant x<4, \\\\ 0,04 x+0,64, & 4 \leqslant x<9, \\\\ 1, & x \geqslant 9 .\end{array}\right.
R. (b) f(x)=\left\{\begin{array}{cc}0,2, & 0<x<4, \\\\ 0,04, & 4 \leqslant x<9 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: "Determine a função densidade de probabilidade para a função acumulada F(x)\)" onde
\[F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 0,2x, & 0\le x<4,\\[4pt] 0,04x+0,64, & 4\le x<9,\\[4pt] 1, & x\ge 9. \end{cases}
As informações relevantes: os trechos da função acumulada em cada intervalo estão explicitados e há pontos de mudança em x=0\], \(x=4 e x=9. O objetivo é obter a densidade f(x) correspondente.]
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (aula rápida): a função de distribuição acumulada F(x) de uma variável aleatória X está relacionada com a densidade f(x) assim:
Se F é diferenciável num ponto x, então a densidade ali é a derivada: f(x)=F'(x).
Se F tem um salto (discontinuidade) em x=a, então existe uma massa pontual (probabilidade discreta) em a igual a F(a)-F(a^-), onde F(a^-) é o limite à esquerda.
Em resumo:
f(x)=F'(x)\quad\text{na parte contínua,}í
e massas pontuais são os saltos F(a)-F(a^-).
Passo 3
Verificamos se existem saltos (massas pontuais) em x=0, x=4 e x=9 usando a fórmula do salto:
Em x=0: F(0)=0,2\cdot 0=0 e F(0^-)=0. Logo o salto é 0-0=0. Não há massa pontual em 0.
Em x=4: F(4^-)=0,2\cdot 4=0,8. Pela expressão para 4\le x<9, F(4)=0,04\cdot 4+0,64=0,16+0,64=0,8. O salto é 0,8-0,8=0. Não há massa pontual em 4.
Em x=9: F(9^-)=0,04\cdot 9+0,64=0,36+0,64=1,0. E F(9)=1. O salto é 1-1=0. Não há massa pontual em 9.
Conclusão: F é contínua em todos os pontos indicados; não existem massas pontuais. A distribuição é totalmente contínua (absolutamente contínua nos trechos lineares).
Passo 4
Agora diferenciamos F(x) nos intervalos onde ela é dada por funções diferenciáveis:
Para 0<x<4: F(x)=0,2x. A derivada de ax é a. Portanto
F'(x)=0,2 \quad\text{para }0<x<4.
Para 4<x<9: F(x)=0,04x+0,64. A derivada de bx+c é b. Portanto
F'(x)=0,04 \quad\text{para }4<x<9.
Fora desses intervalos (isto é, x<0 e x>9), F é constante (0 ou 1), então a derivada é zero.
Observação didática: o valor de f exatamente em pontos isolados como x=0,4,9 não altera probabilidades (integral), por isso podemos atribuir qualquer valor pontual ali; o importante são os intervalos.
Passo 5
Montamos a função densidade f(x)\) juntando as derivadas nos intervalos e colocando zero fora do suporte:
\[f(x)=\begin{cases} 0,2, & 0<x<4,\\[4pt] 0,04, & 4\le x<9,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
(Escolhi incluir x=4\] no segundo trecho conforme a resposta modelo; lembrar que o valor em \(x=4 é irrelevante para integrais.)]
Passo 6
Verificação rápida integrando f para checar que soma 1: