Determine a função de transferência para cada um dos sistemas.
g(t)=\frac{1}{2} e^{-2 t} \operatorname{sen} 3 t

Passo 1

O enunciado nos dá a resposta ao impulso
g(t)=\tfrac12\,e^{-2t}\sin(3t)\,u(t)
e pede a função de transferência G(s), isto é, a transformada de Laplace de g(t). Para isso, usaremos a definição
G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}=\int_{0}^{\infty}g(t)\,e^{-st}\,dt
e o conhecimento das transformadas padrão de e^{-at}\sin(bt).

Passo 2

Escrevemos a integral de Laplace de g(t):
G(s)=\int_{0}^{\infty}\tfrac12\,e^{-2t}\sin(3t)\,e^{-st}\,dt = \tfrac12\int_{0}^{\infty}e^{-(s+2)t}\sin(3t)\,dt

Passo 3

Usamos a fórmula conhecida
\mathcal{L}\{e^{-at}\sin(bt)\} = \frac{b}{(s+a)^2+b^2}
válida para \Re(s)>-a. Aqui a=2 e b=3, então
\int_{0}^{\infty}e^{-(s+2)t}\sin(3t)\,dt = \frac{3}{(s+2)^2+3^2} = \frac{3}{(s+2)^2+9}

Passo 4

Multiplicamos pelo fator \tfrac12 que estava fora da integral:
G(s)=\tfrac12\cdot\frac{3}{(s+2)^2+9} = \frac{3/2}{(s+2)^2+9}

Resposta

G(s)=\frac{\tfrac32}{(s+2)^2+9}

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