Determine a função de transferência para cada um dos sistemas.
\frac{d^{3} y(t)}{d t^{3}}+2 \frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+5 \frac{d y(t)}{d t}+6 y(t)=3 \frac{d u(t)}{d t}+u(t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de terceira ordem
\frac{d^{3}y(t)}{dt^{3}} + 2\,\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} + 5\,\frac{dy(t)}{dt} + 6\,y(t) \;=\; 3\,\frac{du(t)}{dt} + u(t)
e pede a função de transferência G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}. Vamos usar a transformada de Laplace, assumindo condições iniciais nulas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados, lembrando que
\mathcal{L}\Big\{\frac{d^{n}y}{dt^{n}}\Big\} = s^{n}Y(s)
para condições iniciais nulas. Obtemos
s^{3}Y(s) + 2\,s^{2}Y(s) + 5\,s\,Y(s) + 6\,Y(s) \;=\; 3\,s\,U(s) + U(s).
Colocando Y(s) e U(s) em evidência:
Y(s)\bigl(s^{3} + 2s^{2} + 5s + 6\bigr) = U(s)\bigl(3s + 1\bigr).

Passo 3

Isolando a razão G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}, temos
G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{3s + 1}{s^{3} + 2s^{2} + 5s + 6}.

Resposta

G(s) = \frac{3s + 1}{s^{3} + 2s^{2} + 5s + 6}.

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