Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
(a) V=e^{-z} \sin (2 x) \operatorname{cosh} (y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente do campo escalar dado por
V = e^{-z}\,\sin(2x)\,\operatorname{cosh}(y).
Informações claras que temos:
  • A função depende das variáveis (x,y,z).
  • Queremos o vetor gradiente \nabla V, isto é, as derivadas parciais de V em relação a x, y e z.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos representá‑lo.
Definição: o gradiente de um escalar V(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla V=\left(\frac{\partial V}{\partial x},\;\frac{\partial V}{\partial y},\;\frac{\partial V}{\partial z}\right).
Cada componente \dfrac{\partial V}{\partial x}, por exemplo, é a taxa de variação de V quando apenas x varia e y,z ficam fixos. Para calcular cada componente usamos regras usuais de diferenciação (regra da cadeia e produto), lembrando que aqui V é produto de três fatores que dependem cada um de uma única variável:
  • f(x)=\sin(2x),
  • g(y)=\operatorname{cosh}(y),
  • h(z)=e^{-z}.

Passo 3

Regra prática para derivadas parciais neste caso: quando se deriva em relação a uma variável, derivamos apenas o fator que depende dessa variável e mantemos os outros fatores como constantes.
Também precisamos da derivada de funções básicas:
  • Derivada de \sin(2x) em relação a x: aplique a regra da cadeia. \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot\dfrac{d}{dx}(2x)=2\cos(2x).
  • Derivada de \operatorname{cosh}(y) em relação a y: \dfrac{d}{dy}\operatorname{cosh}(y)=\operatorname{sinh}(y).
  • Derivada de e^{-z} em relação a z: regra da cadeia dá \dfrac{d}{dz}e^{-z}=e^{-z}\cdot(-1)=-e^{-z}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial V}{\partial x}.
Derivando apenas \sin(2x) e mantendo os outros fatores:
\frac{\partial V}{\partial x}=e^{-z}\,\operatorname{cosh}(y)\cdot\frac{d}{dx}\sin(2x) = e^{-z}\,\operatorname{cosh}(y)\cdot 2\cos(2x).
Pode-se escrever de forma mais arrumada:
\frac{\partial V}{\partial x}=2\,e^{-z}\operatorname{cosh}(y)\cos(2x).

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial V}{\partial y}.
Derivando apenas \operatorname{cosh}(y) e mantendo os outros fatores:
\frac{\partial V}{\partial y}=e^{-z}\,\sin(2x)\cdot\frac{d}{dy}\operatorname{cosh}(y) = e^{-z}\,\sin(2x)\,\operatorname{sinh}(y).

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial V}{\partial z}.
Derivando apenas e^{-z} e mantendo os outros fatores:
\frac{\partial V}{\partial z}=\sin(2x)\,\operatorname{cosh}(y)\cdot\frac{d}{dz}e^{-z} = \sin(2x)\,\operatorname{cosh}(y)\,(-e^{-z}).
Ou, de forma organizada:
\frac{\partial V}{\partial z}=-e^{-z}\sin(2x)\operatorname{cosh}(y).

Passo 7

Juntar as três componentes para formar o gradiente. Assim,
\nabla V=\left(2\,e^{-z}\operatorname{cosh}(y)\cos(2x),\; e^{-z}\sin(2x)\operatorname{sinh}(y),\; -e^{-z}\sin(2x)\operatorname{cosh}(y)\right).

Resposta

\nabla V=\left(2\,e^{-z}\operatorname{cosh}(y)\cos(2x),\; e^{-z}\sin(2x)\operatorname{sinh}(y),\; -e^{-z}\sin(2x)\operatorname{cosh}(y)\right)

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