Calcule o fluxo total do vetor
\vec{F}=\rho^{2} \sin \varphi \hat{a}_{\rho}+z \cos \varphi \hat{a}_{\varphi}+\rho z \hat{a}_{z}

Passo 1

O enunciado pede: "Calcule o fluxo total do vetor
\vec{F}=\rho^{2}\sin\varphi\,\hat{a}_{\rho}+z\cos\varphi\,\hat{a}_{\varphi}+\rho z\,\hat{a}_{z}."
Informações dadas:
  • O campo vetorial é dado em coordenadas cilíndricas com componentes \;F_{\rho}=\rho^{2}\sin\varphi,\;F_{\varphi}=z\cos\varphi,\;F_{z}=\rho z.
    O que falta no enunciado:
  • Não foi especificada a superfície fechada S (ou o volume fechado V) pela qual se quer calcular o fluxo total. Sem essa informação não é possível obter um valor numérico único do fluxo total.
    Observação: vou proceder mostrando o método correto, calcular a divergência do campo (útil para usar o Teorema da Divergência/Gauss) e escrever a expressão geral do fluxo como integral sobre um volume arbitrário. Também farei um exemplo concreto (cilindro típico) para ilustrar como obter um número quando os limites são dados.

Passo 2

O que significa “fluxo total” e qual ferramenta usar:
  • O fluxo total de \vec{F} através de uma superfície fechada S é
\Phi=\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{A}.
  • Se S é o contorno de um volume V (superfície fechada orientada externamente), o Teorema da Divergência (Gauss) diz:
\Phi=\iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{F})\,dV.
Isto é extremamente útil: em vez de parametrizar a superfície completa, basta calcular a divergência \nabla\cdot\vec{F} e integrar sobre o volume V. Vou portanto calcular \nabla\cdot\vec{F} em coordenadas cilíndricas e escrever a integral.

Passo 3

Fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas e significado das variáveis:
  • Para um campo \vec{F}=F_{\rho}\hat{a}_{\rho}+F_{\varphi}\hat{a}_{\varphi}+F_{z}\hat{a}_{z} em coordenadas cilíndricas, a divergência é
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho F_{\rho})+\frac{1}{\rho}\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial\varphi}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}.
Explicando cada termo:
  • \rho é a coordenada radial (distância ao eixo).
  • O primeiro termo trata da variação radial, com o fator geométrico 1/\rho.
  • O segundo termo trata da variação angular em \varphi.
  • O terceiro termo é a variação ao longo do eixo z.

Passo 4

Calcular cada derivada para o nosso campo:
Temos \;F_{\rho}=\rho^{2}\sin\varphi,\;F_{\varphi}=z\cos\varphi,\;F_{z}=\rho z.
  1. Primeiro termo:
\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho F_{\rho}) =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho\cdot \rho^{2}\sin\varphi\big) =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho^{3}\sin\varphi\big).
Como \sin\varphi é tratado como constante ao derivar em \rho,
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho^{3}\sin\varphi)=3\rho^{2}\sin\varphi,
logo
\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho F_{\rho})=\frac{1}{\rho}\cdot 3\rho^{2}\sin\varphi=3\rho\sin\varphi.
  1. Segundo termo:
\frac{1}{\rho}\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial\varphi} =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\varphi}\big(z\cos\varphi\big).
Aqui z é tratado como constante ao derivar em \varphi, então
\frac{\partial}{\partial\varphi}(z\cos\varphi)=-z\sin\varphi,
portanto
\frac{1}{\rho}\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial\varphi}=-\frac{z\sin\varphi}{\rho}.
  1. Terceiro termo:
\frac{\partial F_{z}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(\rho z)=\rho,
pois \rho é tratado como constante ao derivar em z.
Agora somamos os três termos para obter a divergência:
\nabla\cdot\vec{F}=3\rho\sin\varphi-\frac{z\sin\varphi}{\rho}+\rho.

Passo 5

Escrever o fluxo total via integral tripla em coordenadas cilíndricas:
  • Usando Gauss, para qualquer volume V limitado por S:
\Phi=\iiint_{V}\big(3\rho\sin\varphi-\frac{z\sin\varphi}{\rho}+\rho\big)\,dV.
  • Em coordenadas cilíndricas dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz. Multiplicando a divergência por dV resulta no integrando simplificado:
\big(3\rho\sin\varphi-\frac{z\sin\varphi}{\rho}+\rho\big)\rho =3\rho^{2}\sin\varphi - z\sin\varphi + \rho^{2}.
Portanto a expressão prática do fluxo é
\Phi=\iiint_{V}\big(3\rho^{2}\sin\varphi+\rho^{2}-z\sin\varphi\big)\,d\rho\,d\varphi\,dz,
com os limites de integração determinados pelo volume V que estiver fechado por S.

Passo 6

Comentários sobre avaliação e simplificações comuns:
  • Observe que muitos termos contêm \sin\varphi. Ao integrar \sin\varphi sobre \varphi de 0 a 2\pi obtemos zero:
\int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\,d\varphi=0.
Isso faz com que, para volumes que cobrem a circunferência completa em \varphi (por exemplo um cilindro completo com \varphi\in[0,2\pi]), os termos que multiplicam \sin\varphi contribuam zero para o fluxo total. Assim, frequentemente sobra apenas a parte que não depende de \sin\varphi (aqui o termo \rho^{2}).

Passo 7

Exemplo concreto (útil para a prova): fluxo através de um cilindro de raio a e altura h
  • Suponha V é o cilindro sólido com 0\le\rho\le a,\;0\le\varphi\le 2\pi,\;0\le z\le h. Então os termos com \sin\varphi desaparecem ao integrar em \varphi e sobra:
\Phi=\int_{z=0}^{h}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\rho=0}^{a}\big(3\rho^{2}\sin\varphi+\rho^{2}-z\sin\varphi\big)\,d\rho\,d\varphi\,dz.
Os termos com \sin\varphi dão zero ao integrar em \varphi, portanto
\Phi=\int_{z=0}^{h}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\rho=0}^{a}\rho^{2}\,d\rho\,d\varphi\,dz.
Calcule passo a passo:
\int_{\rho=0}^{a}\rho^{2}\,d\rho=\frac{a^{3}}{3},
\int_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi=2\pi,
\int_{z=0}^{h}dz=h.
Multiplicando:
\Phi=\frac{a^{3}}{3}\cdot 2\pi\cdot h=\frac{2\pi h a^{3}}{3}.
Esse exemplo mostra como, se os limites forem dados, obtém-se um valor numérico concreto; sem os limites não se pode calcular um valor único.

Resposta

\displaystyle \Phi=\iiint_{V}\big(3\rho\sin\varphi-\dfrac{z\sin\varphi}{\rho}+\rho\big)\,dV
\displaystyle
(ou, escrevendo em coordenadas cilíndricas)
\displaystyle \Phi=\iiint_{V}\big(3\rho^{2}\sin\varphi+\rho^{2}-z\sin\varphi\big)\,d\rho\,d\varphi\,dz, com os limites de integração determinados pelo volume V fechado por S.
\displaystyle
Exemplo: para o cilindro 0\le\rho\le a,\;0\le\varphi\le2\pi,\;0\le z\le h obtém-se \displaystyle \Phi=\frac{2\pi h a^{3}}{3}.

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