Calcule o fluxo total do vetor
Passo 1
O enunciado pede: "Calcule o fluxo total do vetor
Informações dadas:
- O campo vetorial é dado em coordenadas cilíndricas com componentes
O que falta no enunciado: - Não foi especificada a superfície fechada
(ou o volume fechado ) pela qual se quer calcular o fluxo total. Sem essa informação não é possível obter um valor numérico único do fluxo total.
Observação: vou proceder mostrando o método correto, calcular a divergência do campo (útil para usar o Teorema da Divergência/Gauss) e escrever a expressão geral do fluxo como integral sobre um volume arbitrário. Também farei um exemplo concreto (cilindro típico) para ilustrar como obter um número quando os limites são dados.
Passo 2
O que significa “fluxo total” e qual ferramenta usar:
- O fluxo total de
através de uma superfície fechada é
- Se
é o contorno de um volume (superfície fechada orientada externamente), o Teorema da Divergência (Gauss) diz:
Isto é extremamente útil: em vez de parametrizar a superfície completa, basta calcular a divergência
e integrar sobre o volume
. Vou portanto calcular
em coordenadas cilíndricas e escrever a integral.
Passo 3
Fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas e significado das variáveis:
- Para um campo
em coordenadas cilíndricas, a divergência é
Explicando cada termo:
-
é a coordenada radial (distância ao eixo). - O primeiro termo trata da variação radial, com o fator geométrico
. - O segundo termo trata da variação angular em
. - O terceiro termo é a variação ao longo do eixo
.
Passo 4
Calcular cada derivada para o nosso campo:
Temos
Temos
- Primeiro termo:
Como
é tratado como constante ao derivar em
,
logo
- Segundo termo:
Aqui
é tratado como constante ao derivar em
, então
portanto
- Terceiro termo:
pois
é tratado como constante ao derivar em
.
Agora somamos os três termos para obter a divergência:
Passo 5
Escrever o fluxo total via integral tripla em coordenadas cilíndricas:
- Usando Gauss, para qualquer volume
limitado por :
- Em coordenadas cilíndricas
. Multiplicando a divergência por resulta no integrando simplificado:
Portanto a expressão prática do fluxo é
com os limites de integração determinados pelo volume
que estiver fechado por
.
Passo 6
Comentários sobre avaliação e simplificações comuns:
- Observe que muitos termos contêm
. Ao integrar sobre de a obtemos zero:
Isso faz com que, para volumes que cobrem a circunferência completa em
(por exemplo um cilindro completo com
), os termos que multiplicam
contribuam zero para o fluxo total. Assim, frequentemente sobra apenas a parte que não depende de
(aqui o termo
).
Passo 7
Exemplo concreto (útil para a prova): fluxo através de um cilindro de raio
e altura
- Suponha
é o cilindro sólido com . Então os termos com desaparecem ao integrar em e sobra:
Os termos com
dão zero ao integrar em
, portanto
Calcule passo a passo:
Multiplicando:
Esse exemplo mostra como, se os limites forem dados, obtém-se um valor numérico concreto; sem os limites não se pode calcular um valor único.
Resposta
(ou, escrevendo em coordenadas cilíndricas)
Exemplo: para o cilindro