Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada.
S=\{(u, v) ; 0 \leq u \leq 3,0 \leq v \leq 2\}, x=2 u-3 v, y=u-v.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear de (u,v) para (x,y) por
x = 2u - 3v,\quad y = u - v
e o conjunto S é o retângulo
S = \{(u,v)\mid 0 \le u \le 3,\;0 \le v \le 2\}.
Queremos determinar a imagem T(S) desse retângulo no plano xy.

Passo 2

Para entender a forma de T(S), calculamos a imagem dos quatro vértices de S:
T(0,0) = (2\cdot0 - 3\cdot0,\;0-0) = (0,0),
T(3,0) = (2\cdot3 - 3\cdot0,\;3-0) = (6,3),
T(0,2) = (2\cdot0 - 3\cdot2,\;0-2) = (-6,-2),
T(3,2) = (2\cdot3 - 3\cdot2,\;3-2) = (0,1).

Passo 3

Como a transformação é linear, o retângulo em uv vira um paralelogramo em xy cujos vértices são
(0,0), (6,3), (-6,-2) e (0,1). Portanto T(S) é exatamente esse paralelogramo.

Passo 4

Para dar uma descrição analítica, invertemos
x = 2u - 3v
y = u - v
Resolvendo, achamos
u = 3y - x
v = 2y - x
Como em S temos 0 \le u \le 3 e 0 \le v \le 2, impomos
0 \le 3y - x \le 3
0 \le 2y - x \le 2
e essas duas faixas de desigualdades definem o mesmo paralelogramo.

Resposta

T(S) \;=\;\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid 0\le 3y - x\le 3,\;0\le 2y - x\le 2\},
isto é, o paralelogramo com vértices (0,0), (6,3), (-6,-2) e (0,1).

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