Determine a impedância equivalente de um circuito série \mathrm{R}-\mathrm{C} \operatorname{com} \mathrm{R}=20 \Omega e \mathrm{C}=100 \mu \mathrm{~F} operando em 60 Hz .
a) 20+\mathrm{j} 26,5 \Omega
b) 20-\mathrm{j} 26,5 \Omega
c) 20+\mathrm{j} 159 \Omega
d) 20-\mathrm{j} 159 \Omega

Passo 1

O enunciado pede a impedância equivalente de um circuito série formado por um resistor e um capacitor, com os dados: R=20\\ \Omega, C=100\\ \mu\mathrm{F} e a frequência de operação f=60\\ \mathrm{Hz}. As alternativas são:
a) 20+\mathrm{j}\\\ 26,5\\ \Omega
b) 20-\mathrm{j}\\\ 26,5\\ \Omega
c) 20+\mathrm{j}\\\ 159\\ \Omega
d) 20-\mathrm{j}\\\ 159\\ \Omega
O que precisamos encontrar é a impedância total em série Z_{\text{eq}} (um número complexo que combina a parte real do resistor e a parte imaginária do capacitor).

Passo 2

Conceitos importantes (explicadinho, sem pressa):
  • Impedância é a generalização da resistência para sinais senoidais em regime permanente; é um número complexo que representa módulo e defasagem entre tensão e corrente.
  • Para um resistor puro R, a impedância é puramente real: \;Z_R = R.
  • Para um capacitor C em regime senoidal com frequência f, a impedância é puramente imaginária e dada por
Z_C = -\mathrm{j} X_C,
onde \mathrm{j} é a unidade imaginária (na engenharia usa-se \mathrm{j} em vez de i) e X_C é a reatância capacitiva, calculada por
X_C = \frac{1}{\omega C},
com \omega = 2\pi f (a pulsação, em rad/s). Aqui X_C é um número positivo, mas o sinal negativo em Z_C indica que a corrente adianta a tensão no capacitor (fase negativa na impedância).

Passo 3

Calcular \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 60 = 120\pi \approx 376,991\\ \mathrm{rad/s}.
Expliquei: multiplicamos 2\pi por 60 para converter ciclos por segundo em radianos por segundo.

Passo 4

Calcular \omega C. Primeiro converto C para Farads: C=100\\ \mu\mathrm{F}=100\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
\omega C = 376,991 \cdot (100\times10^{-6}) = 376,991 \cdot 0,0001 = 0,0376991.
Mostrei passo a passo: multipliquei a pulsação pelo valor em Farads.

Passo 5

Calcular a reatância capacitiva X_C como o recíproco de \omega C:
X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{0,0376991} \approx 26,5258\\ \Omega.
Arredondando para um dígito decimal (como nas alternativas): X_C \approx 26,5\\ \Omega.

Passo 6

Escrever a impedância do capacitor e, em seguida, a impedância total em série. A impedância do capacitor é
Z_C = -\mathrm{j} X_C = -\mathrm{j}\,26,5258\\ \Omega \approx -\mathrm{j}\,26,5\\ \Omega.
Como estão em série, somamos Z_R com Z_C:
Z_{\text{eq}} = Z_R + Z_C = R - \mathrm{j} X_C = 20 - \mathrm{j}\,26,5258\\ \Omega \approx 20 - \mathrm{j}\,26,5\\ \Omega.
Interpretação rápida: a parte real 20\\ \Omega vem do resistor; a parte imaginária negativa vem do capacitor.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a que bate com o resultado aproximado é a alternativa (b).

Resposta

b) 20-\mathrm{j}\\\ 26,5\\ \Omega

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