Em coordenadas cilíndricas, seja \rho_{v}=0 para \rho<1 \mathrm{~mm}, \rho_{v}=2 \operatorname{sen}(2.000 \pi \rho) \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{3} para 1 \mathrm{~mm}<\rho<1,5 \mathrm{~mm}, e \rho_{v}=0 para \rho>1,5 \mathrm{~mm}. Calcule D em todos os lugares.

Passo 1

O enunciado dá uma densidade volumétrica de carga em coordenadas cilíndricas que depende só de [\rho) (simetria cilíndrica) e pede o campo de deslocamento elétrico \mathbf{D} em todo o espaço. As informações são:
\rho_v(\rho)=\begin{cases} 0, & \rho < 1\\ \mathrm{mm},\\[4pt] 2\sin\bigl(2000\pi\,\rho\bigr)\\ \mathrm{nC/m^{3}}, & 1\\ \mathrm{mm}<\rho<1{,}5\\ \mathrm{mm},\\[4pt] 0, & \rho > 1{,}5\\ \mathrm{mm}. \end{cases}
Observações importantes que eu extraí do enunciado:
  • O coordenada radial aqui deve ser tratada em metros ao calcular, então 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}\] e \(1{,}5\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • A função trigonométrica tem argumento 2000\pi\rho; isso é consistente porque para \rho em metros o argumento é adimensional (e a constante 2000\pi tem unidade \mathrm{m^{-1}}).
  • A densidade está em \mathrm{nC/m^{3}}; vou converter para coulombs: 1\\ \mathrm{nC}=10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • O que se pede: \mathbf{D}(\rho) em todas as regiões (ou seja, para \rho<10^{-3}\\ \mathrm{m}, 10^{-3}\\ \mathrm{m}<\rho<1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e \rho>1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}).]

Passo 2

Método escolhido e por que: pela simetria cilíndrica (a densidade depende só de \rho e é independente de \varphi e z), o vetor \mathbf{D} só terá componente radial, isto é \mathbf{D}=D_{\rho}(\rho)\,\hat{\boldsymbol{\rho}}. A forma integral da lei de Gauss para \mathbf{D} é a mais direta aqui:
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{enc}},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total dentro da superfície fechada \mathcal{S}. Escolhemos como superfície um cilindro coaxial de raio \rho e comprimento L. A explicação rápida do cálculo do fluxo: as únicas faces que contribuem são a superfície lateral do cilindro (área 2\pi\rho L), porque \mathbf{D} é radial; as tampas dão contribuição zero ( \mathbf{D} paralelo às tampas = zero fluxo). Assim o fluxo é
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=D_{\rho}(\rho)\, (2\pi\rho L).
A carga encoberta é
Q_{\text{enc}}= \int_{V}\rho_v\,dV = \int_{z=0}^{L}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{0}^{\rho}\rho_v(\rho')\,\rho'\,d\rho'\,d\varphi\,dz =2\pi L \int_{0}^{\rho}\rho_v(\rho')\,\rho'\,d\rho'.
Igualando fluxo e carga e simplificando 2\pi L obtemos a fórmula prática:
\boxed{D_{\rho}(\rho)=\frac{1}{\rho}\int_{0}^{\rho}\rho_v(\rho')\,\rho'\,d\rho'.}
Isto significa: para cada \rho o campo radial é dado pela integral da densidade vezes \rho' desde 0 até \rho, tudo dividido por \rho. Agora aplicamos isso às três regiões usando a densidade dada (convertida para C/m^3).

Passo 3

Região 1: \rho<1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Para qualquer \rho nessa região a densidade \rho_v(\rho') é zero para todo 0\le\rho'\le\rho. Então a integral é zero e, pela fórmula,
\mathbf{D}(\rho)=\mathbf{0},\qquad \text{para } \rho<10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Explicação conceitual: não há carga dentro do cilindro de raio menor que 1\\ \mathrm{mm}, logo o fluxo é nulo e \mathbf{D}=0.

Passo 4

Região 2: 1\\ \mathrm{mm}<\rho<1{,}5\\ \mathrm{mm}, isto é 10^{-3}\\ \mathrm{m}<\rho<1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Aqui a carga está presente apenas para \rho' de 10^{-3} até \rho. Como \rho_v=0 para \rho'<10^{-3}, a integral na fórmula se reduz a:
D_{\rho}(\rho)=\frac{1}{\rho}\int_{10^{-3}}^{\rho} \rho_v(\rho')\,\rho'\,d\rho'.
Substituindo \rho_v(\rho')=2\sin(2000\pi \rho')\\ \mathrm{nC/m^3}=2\times10^{-9}\sin(2000\pi \rho')\\ \mathrm{C/m^3}, definimos a=2000\pi para simplificar. Então
D_{\rho}(\rho)=\frac{2\times10^{-9}}{\rho}\int_{10^{-3}}^{\rho} \rho'\sin(a\rho')\,d\rho'.
Agora fazemos a integral \int \rho'\sin(a\rho')\,d\rho'. Usando integração por partes (ou a primitiva conhecida),
\int \rho'\sin(a\rho')\,d\rho' = -\frac{\rho'\cos(a\rho')}{a} + \frac{\sin(a\rho')}{a^{2}} + C.
Aplicando os limites 10^{-3} a \rho obtemos
\int_{10^{-3}}^{\rho} \rho'\sin(a\rho')\,d\rho' = \left[-\frac{\rho'\cos(a\rho')}{a} + \frac{\sin(a\rho')}{a^{2}}\right]_{10^{-3}}^{\rho}.
Note que a\cdot 10^{-3}=2000\pi\cdot10^{-3}=2\pi, e \sin(2\pi)=0,\\ \cos(2\pi)=1. Isso simplifica o termo inferior. Substituindo tudo,
\begin{aligned} D_{\rho}(\rho) &=\frac{2\times10^{-9}}{\rho}\left(-\frac{\rho\cos(a\rho)}{a}+\frac{\sin(a\rho)}{a^{2}} -\left(-\frac{10^{-3}\cos(2\pi)}{a}+\frac{\sin(2\pi)}{a^{2}}\right)\right)\\[6pt] &=\frac{2\times10^{-9}}{\rho}\left(-\frac{\rho\cos(a\rho)}{a}+\frac{\sin(a\rho)}{a^{2}}+\frac{10^{-3}}{a}\right), \end{aligned}
porque \cos(2\pi)=1 e \sin(2\pi)=0. Portanto o campo vetorial é radial:
\boxed{\mathbf{D}(\rho)=D_{\rho}(\rho)\,\hat{\boldsymbol{\rho}},\quad D_{\rho}(\rho)=\frac{2\times10^{-9}}{\rho}\left(-\frac{\rho\cos(2000\pi\rho)}{2000\pi} +\frac{\sin(2000\pi\rho)}{(2000\pi)^{2}}+\frac{10^{-3}}{2000\pi}\right),}
válido para 10^{-3}\\ \mathrm{m}<\rho<1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Dica prática para prova: ao ver produtos \rho'\sin(a\rho') use integração por partes; e sempre verifique valores especiais (aqui a\cdot10^{-3}=2\pi zerou termos trigonométricos).]

Passo 5

Região 3: \rho>1{,}5\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Para \rho maior que o raio externo, toda a carga do anel entre 10^{-3} e 1{,}5\times10^{-3} está contida no cilindro. Assim a integral tem limites fixos e dá uma constante (independente de \rho exceto pelo fator 1/\rho fora da integral):
D_{\rho}(\rho)=\frac{1}{\rho}\int_{10^{-3}}^{1{,}5\times10^{-3}}\rho_v(\rho')\,\rho'\,d\rho'.
Usamos a primitiva encontrada no passo anterior. Avaliando entre 10^{-3} e 1{,}5\times10^{-3} e lembrando que a\cdot10^{-3}=2\pi e a\cdot1{,}5\times10^{-3}=3\pi, com \sin(2\pi)=\sin(3\pi)=0, \cos(2\pi)=1, \cos(3\pi)=-1, temos:
\begin{aligned} \int_{10^{-3}}^{1{,}5\times10^{-3}} \rho'\sin(a\rho')\,d\rho' &=\left[-\frac{\rho'\cos(a\rho')}{a}+\frac{\sin(a\rho')}{a^{2}}\right]_{10^{-3}}^{1{,}5\times10^{-3}}\\[4pt] &= -\frac{(1{,}5\times10^{-3})\cos(3\pi)}{a} -\left(-\frac{10^{-3}\cos(2\pi)}{a}\right)\\[4pt] &= -\frac{1{,}5\times10^{-3}(-1)}{a} + \frac{10^{-3}(1)}{a}\\[4pt] &= \frac{(1{,}5-1)\times10^{-3}}{a}=\frac{0{,}5\times10^{-3}}{a}=\frac{5\times10^{-4}}{a}. \end{aligned}
Multiplicando pelo fator 2\times10^{-9} que vem da densidade (em C/m^3) obtém-se o valor da integral:
\int_{10^{-3}}^{1{,}5\times10^{-3}} 2\times10^{-9}\,\rho'\sin(a\rho')\,d\rho' = 2\times10^{-9}\cdot\frac{5\times10^{-4}}{a} = \frac{1\times10^{-12}}{a}.
Substituindo a=2000\pi
\int_{10^{-3}}^{1{,}5\times10^{-3}} \rho_v(\rho')\,\rho'\,d\rho' = \frac{10^{-12}}{2000\pi}=\frac{5\times10^{-16}}{\pi}\\ \mathrm{C/m}.
Dividindo por \rho para obter D_{\rho},
\boxed{D_{\rho}(\rho)=\frac{5\times10^{-16}}{\pi\,\rho}\\ \mathrm{C/m^{2}},\qquad \text{para }\rho>1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.}
E o vetor é \mathbf{D}(\rho)=D_{\rho}(\rho)\,\hat{\boldsymbol{\rho}}. Observação: o comportamento 1/\rho é típico fora de um cilindro com carga total finita por unidade de comprimento.]

Resposta

\displaystyle \mathbf{D}(\rho)=\mathbf{0},\quad \text{para }\rho<10^{-3}\\ \mathrm{m}.\n
\displaystyle \mathbf{D}(\rho)=\left[\frac{2\times10^{-9}}{\rho}\!\left(-\frac{\rho\cos(2000\pi\rho)}{2000\pi}+\frac{\sin(2000\pi\rho)}{(2000\pi)^{2}}+\frac{10^{-3}}{2000\pi}\right)\right]\hat{\boldsymbol{\rho}},\quad \text{para }10^{-3}\\ \mathrm{m}<\rho<1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.\n
\displaystyle \mathbf{D}(\rho)=\frac{5\times10^{-16}}{\pi\,\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}},\quad \text{para }\rho>1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

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