Em coordenadas cilíndricas, seja \rho_{v}=0 para \rho<1 \mathrm{~mm}, \rho_{v}=2 \operatorname{sen}(2.000 \pi \rho) \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{3} para 1 \mathrm{~mm}<\rho<1,5 \mathrm{~mm}, e \rho_{v}=0 para \rho>1,5 \mathrm{~mm}. Calcule D em todos os lugares.
Passo 1
O enunciado dá uma densidade volumétrica de carga em coordenadas cilíndricas que depende só de [\rho) (simetria cilíndrica) e pede o campo de deslocamento elétrico \mathbf{D} em todo o espaço. As informações são:
Observações importantes que eu extraí do enunciado:
O coordenada radial aqui deve ser tratada em metros ao calcular, então 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}\] e \(1{,}5\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
A função trigonométrica tem argumento 2000\pi\rho; isso é consistente porque para \rho em metros o argumento é adimensional (e a constante 2000\pi tem unidade \mathrm{m^{-1}}).
A densidade está em \mathrm{nC/m^{3}}; vou converter para coulombs: 1\\ \mathrm{nC}=10^{-9}\\ \mathrm{C}.
O que se pede: \mathbf{D}(\rho) em todas as regiões (ou seja, para \rho<10^{-3}\\ \mathrm{m}, 10^{-3}\\ \mathrm{m}<\rho<1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e \rho>1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}).]
Passo 2
Método escolhido e por que: pela simetria cilíndrica (a densidade depende só de \rho e é independente de \varphi e z), o vetor \mathbf{D} só terá componente radial, isto é \mathbf{D}=D_{\rho}(\rho)\,\hat{\boldsymbol{\rho}}. A forma integral da lei de Gauss para \mathbf{D} é a mais direta aqui:
onde Q_{\text{enc}} é a carga total dentro da superfície fechada \mathcal{S}. Escolhemos como superfície um cilindro coaxial de raio \rho e comprimento L. A explicação rápida do cálculo do fluxo: as únicas faces que contribuem são a superfície lateral do cilindro (área 2\pi\rho L), porque \mathbf{D} é radial; as tampas dão contribuição zero ( \mathbf{D} paralelo às tampas = zero fluxo). Assim o fluxo é
Isto significa: para cada \rho o campo radial é dado pela integral da densidade vezes \rho' desde 0 até \rho, tudo dividido por \rho. Agora aplicamos isso às três regiões usando a densidade dada (convertida para C/m^3).
Passo 3
Região 1: \rho<1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Para qualquer \rho nessa região a densidade \rho_v(\rho') é zero para todo 0\le\rho'\le\rho. Então a integral é zero e, pela fórmula,
válido para 10^{-3}\\ \mathrm{m}<\rho<1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Dica prática para prova: ao ver produtos \rho'\sin(a\rho') use integração por partes; e sempre verifique valores especiais (aqui a\cdot10^{-3}=2\pi zerou termos trigonométricos).]
Passo 5
Região 3: \rho>1{,}5\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Para \rho maior que o raio externo, toda a carga do anel entre 10^{-3} e 1{,}5\times10^{-3} está contida no cilindro. Assim a integral tem limites fixos e dá uma constante (independente de \rho exceto pelo fator 1/\rho fora da integral):
Usamos a primitiva encontrada no passo anterior. Avaliando entre 10^{-3} e 1{,}5\times10^{-3} e lembrando que a\cdot10^{-3}=2\pi e a\cdot1{,}5\times10^{-3}=3\pi, com \sin(2\pi)=\sin(3\pi)=0, \cos(2\pi)=1, \cos(3\pi)=-1, temos:
E o vetor é \mathbf{D}(\rho)=D_{\rho}(\rho)\,\hat{\boldsymbol{\rho}}. Observação: o comportamento 1/\rho é típico fora de um cilindro com carga total finita por unidade de comprimento.]