Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função: f(x, y) = x^2 / y^5 com o plano x = 4, no ponto (4, 2, 1/2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a inclinação da reta tangente à curva que resulta da interseção do gráfico da função com o plano , no ponto . Basicamente, vamos precisar entender derivadas parciais e como elas nos ajudam a achar essa inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a interseção da função com o plano . Isso quer dizer que vamos fixar na função, deixando variar. Então, substituindo por 4 na função, temos:
Agora, nossa função reduzida é , onde é a variável que muda.

Passo 3

Queremos achar a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto dado . A inclinação da reta tangente aqui se refere à derivada de em relação a , ou seja, . Essa derivada nos dá a taxa de variação de quando muda, exatamente o que precisamos para a inclinação.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em relação a . Reescrevendo a função para facilitar a derivação:
A derivada de em relação a é . Aplicando isso:

Passo 5

Agora, substituímos o valor de na derivada para encontrar a inclinação no ponto específico:

Resposta

A inclinação da reta tangente é .

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