Determine o índice de esbeltez e a carga de flambagem para barras redondas de madeira que possuem 1 m de comprimento e diâmetro de:
16 mm .
125 mm .
Use E=10 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado dá duas barras circulares de madeira com comprimento L=1{,}0\\ \mathrm{m} e diâmetros d_1=16\\ \mathrm{mm} e d_2=125\\ \mathrm{mm}. Pede-se o índice de esbeltez \lambda e a carga crítica de flambagem de Euler P_\text{cr}. Vamos usar a teoria de flambagem de Euler, com
I=\frac{\pi d^4}{64},\quad A=\frac{\pi d^2}{4},\quad k=\sqrt{\frac{I}{A}},\quad \lambda=\frac{L}{k},\quad P_\text{cr}=\frac{\pi^2 E I}{L^2}.

Passo 2

Para seção circular calcula-se
I=\frac{\pi d^4}{64},\quad A=\frac{\pi d^2}{4}
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k=\sqrt{\frac{I}{A}} =\sqrt{\frac{\pi d^4/64}{\pi d^2/4}} =\sqrt{\frac{d^2}{16}} =\frac{d}{4}.
Assim
\lambda=\frac{L}{k} =\frac{L}{d/4} =\frac{4L}{d}.

Passo 3

Convertemos d para metros e calculamos \lambda:
Para d_1=16\\ \mathrm{mm}=0{,}016\\ \mathrm{m},
\lambda_1=\frac{4\cdot1{,}0}{0{,}016}=250.
Para d_2=125\\ \mathrm{mm}=0{,}125\\ \mathrm{m},
\lambda_2=\frac{4\cdot1{,}0}{0{,}125}=32.

Passo 4

A carga crítica de Euler é
P_\text{cr}=\frac{\pi^2 E I}{L^2}.
Como E=10\\ \mathrm{GPa}=10\times10^9\\ \mathrm{Pa} e I=\pi d^4/64, basta substituir numericamente.

Passo 5

Para d_1=0{,}016\\ \mathrm{m}:
I_1=\frac{\pi(0{,}016)^4}{64}\approx3{,}216\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^4,
P_{\text{cr},1} =\frac{\pi^2\,(10\times10^9)\,I_1}{1^2} \approx9{,}87\cdot10^{0}\times3{,}216\times10^{-9}\times10^{9} \approx3{,}17\times10^{2}\\ \mathrm{N}.
Para d_2=0{,}125\\ \mathrm{m}:
I_2=\frac{\pi(0{,}125)^4}{64}\approx1{,}198\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^4,
P_{\text{cr},2} =\frac{\pi^2\,(10\times10^9)\,I_2}{1^2} \approx9{,}87\cdot10^{0}\times1{,}198\times10^{-5}\times10^{9} \approx1{,}18\times10^{6}\\ \mathrm{N}.

Resposta

Para d_1=16\\ \mathrm{mm}:
\lambda_1=250,\quad P_{\text{cr},1}\approx3{,}17\times10^{2}\\ \mathrm{N}.
Para d_2=125\\ \mathrm{mm}:
\lambda_2=32,\quad P_{\text{cr},2}\approx1{,}18\times10^{6}\\ \mathrm{N}.

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