Determine por inspeção A^{2}, A^{-3}, A^{K}
A=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{7}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz diagonal
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\[6pt] 0 & \frac{1}{7} \end{pmatrix}
e pede para determinar por inspeção A^{2}, A^{-3} e A^{K}. Vamos usar a propriedade de potências de matrizes diagonais.]

Passo 2

Para qualquer matriz diagonal
D = \begin{pmatrix} a & 0 \\[3pt] 0 & b \end{pmatrix},
a sua n-ésima potência é
D^{n} = \begin{pmatrix} a^{n} & 0 \\[3pt] 0 & b^{n} \end{pmatrix}.
Isso vale também para expoentes negativos ou genéricos.]

Passo 3

Aplicando com n=2, temos
A^{2} = \begin{pmatrix} 2^{2} & 0 \\[3pt] 0 & \bigl(\tfrac{1}{7}\bigr)^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\[3pt] 0 & \tfrac{1}{49} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para o expoente -3, usamos
A^{-3} = \begin{pmatrix} 2^{-3} & 0 \\[3pt] 0 & \bigl(\tfrac{1}{7}\bigr)^{-3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{8} & 0 \\[3pt] 0 & 7^{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{8} & 0 \\[3pt] 0 & 343 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para um expoente genérico K, pela mesma ideia,
A^{K} = \begin{pmatrix} 2^{K} & 0 \\[3pt] 0 & \bigl(\tfrac{1}{7}\bigr)^{K} \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{2} = \displaystyle \begin{pmatrix}4 & 0 \\[3pt]0 & \tfrac{1}{49}\end{pmatrix} A^{-3} = \displaystyle \begin{pmatrix}\tfrac{1}{8} & 0 \\[3pt]0 & 343\end{pmatrix} A^{K} = \displaystyle \begin{pmatrix}2^{K} & 0 \\[3pt]0 & \bigl(\tfrac{1}{7}\bigr)^{K}\end{pmatrix}]

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