Determine se as integrais abaixo convergem ou divergem. Caso convirja, determine o valor da integral.
integral0^1 21-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a integral converge ou diverge. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias. Vamos precisar entender como lidar com integrais que têm pontos onde a função não está definida ou tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral: . Perceba que quando se aproxima de 1, o denominador tende a zero, o que faz a função crescer sem limite. Isso sugere que podemos estar lidando com uma integral imprópria devido a uma descontinuidade no intervalo de integração.

Passo 3

Para resolver essa integral imprópria, precisamos transformar o limite de integração onde ocorre o problema (no caso, integral0^1 21-x dx = limb to 1^- integral0^b 21-x dx ) em um limite. Vamos reescrever a integral como o limite quando se aproxima de 1:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral indefinida de integral 21-x dx = -2 ln|1 - x| + C :
Aqui, usamos a regra de integração para funções da forma , onde a integral é .

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a limb to 1^- [ -2 ln|1 - b| + 2 ln|1 - 0| ] = limb to 1^- [ -2 ln(1 - b) + 2 ln(1) ] , temos:
limb to 1^- -2 ln(1 - b)
Sabemos que , então simplificamos para:

Passo 6

Agora, observamos o que acontece quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ). O termo tende a 0, então tende a . Multiplicando por , temos que o limite tende a .

Resposta

A integral diverge, ou seja, não possui um valor finito.

Exercícios relacionados