Determine as integrais de convolução abaixo.
x(t)=e^-2 t u(t) ; h(t)=u(t+2)

Passo 1

O enunciado pede a convolução
y(t) = (x * h)(t)
onde
x(t) = e^-2t,u(t), h(t) = u(t+2)
O conteúdo é convolução de sinais usando a definição integral e apoiando-se nas funções degrau unitário.

Passo 2

Pela definição de convolução temos
y(t) = integral-infty^infty x(tau),h(t-tau),dtau = integral-infty^infty e^-2tau,u(tau);ul(t-tau+2r),dtau

Passo 3

Para que o integrando seja não-nulo precisamos de
u(tau)=1iff tau>=0, u(t-tau+2)=1iff t-tau+2>=0iff tau<= t+2
Logo a região de integração é
0 <= tau <= t+2,
desde que t+2>0. Se t<= -2, o intervalo fica vazio e y(t)=0.

Passo 4

Para t>-2 calculamos
y(t) =integral0^,t+2 e^-2tau,dtau =l[-tfrac12 e^-2taur]0^t+2 =-tfrac12l(e^-2(t+2)-1r) =tfrac12l(1-e^-2(t+2)r)

Resposta

y(t) = tfrac12l(1 - e^-2(t+2)r),u(t+2)

Exercícios relacionados