Determine as integrais indefinidas indicadas:
\int \frac{u^{3}+1}{u^{2}} d u

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{u^{3}+1}{u^{2}}\,du.
É uma função racional, então vamos simplificar dividindo cada termo do numerador por u^{2} e depois aplicar a regra de potência.

Passo 2

Fazendo a divisão de cada termo por u^{2}, obtemos
\frac{u^{3}+1}{u^{2}} = \frac{u^{3}}{u^{2}} + \frac{1}{u^{2}} = u + u^{-2}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq -1:
\int (u + u^{-2})\,du = \int u\,du + \int u^{-2}\,du = \frac{u^{2}}{2} + \frac{u^{-1}}{-1} + C = \frac{u^{2}}{2} - u^{-1} + C.

Resposta

\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{u} + C

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