Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
(a) integral0^infty sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . Aqui estamos lidando com uma integral imprópria, já que o limite superior é infinito. Para resolver, vamos analisar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor definido).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral impropria de infinito. Quando temos integral0^infty sin(x) , dx = limb to infty integral0^b sin(x) , dx , analisamos o limite da integral definida conforme o limite superior tende ao infinito:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida integral0^b sin(x) , dx = [ -cos(x) ]0^b = -cos(b) + cos(0) . A antiderivada de -cos(b) + 1 é , então:
Sabemos que , então a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando limb to infty ( -cos(b) + 1 ) tende ao infinito:
A função oscila entre -1 e 1 para todo valor de , e não se aproxima de nenhum valor específico quando tende ao infinito. Isso significa que oscila entre 0 e 2 sem se estabilizar.

Passo 5

Como o limite não existe (a expressão continua oscilando sem se aproximar de um valor fixo), concluímos que a integral não tem um valor definido. Portanto, a integral diverge.

Resposta

A integral diverge.

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