Determine a interseção dos planos x+2 y-z=0 e -x+y-2 z=1.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisamos encontrar a interseção de dois planos no espaço tridimensional. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, e para resolver isso, vamos precisar entender como representar planos e como encontrar a linha onde esses dois planos se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um plano no espaço tridimensional pode ser representado por uma equação do tipo:
ax + by + cz = d
onde , , são os coeficientes que determinam a orientação do plano, e é um termo constante.

Passo 3

Temos dois planos dados pelas equações:
x + 2y - z = 0 (Plano 1)
-x + y - 2z = 1 (Plano 2)
Nosso objetivo é encontrar os pontos que satisfazem ambas as equações simultaneamente, ou seja, a linha que está na interseção desses dois planos.

Passo 4

Para encontrar a interseção, vamos resolver o sistema de equações formado pelos dois planos. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pelo método de eliminação para facilitar.
Vamos somar as duas equações para eliminar (x + 2y - z) + (-x + y - 2z) &= 0 + 1 (x - x) + (2y + y) + (-z - 2z) &= 1 0 + 3y - 3z &= 1 3y - 3z &= 1 :
y - z = 13
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:

Passo 5

Agora, vamos expressar uma das variáveis em termos da outra. Vamos resolver para y = z + 13 :
x + 2(z + 13) - z = 0 x + 2z + 23 - z = 0 x + z + 23 = 0 x = -z - 23
Agora, substituímos essa expressão na equação do Plano 1 para encontrar :

Resposta

A interseção dos planos x = -z - 23 y = z + 13 z = z e r(t) = (-23, 13, 0) + t, ( -1, 1, 1 ) é a reta dada pelas equações paramétricas:
Ou, de forma vetorial:
onde é um parâmetro real.

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