Determine a interseção dos planos x+2 y+3 z=4 e 2 x+y+z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a interseção dos planos e . Isso significa que vamos encontrar todos os pontos que estão nos dois planos ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar um pouquinho de Álgebra Linear, especificamente resolvendo um sistema de equações com duas equações e três variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações do sistema:
x + 2y + 3z = 4 2x + y + z = 2
Como temos três variáveis, podemos expressar uma delas em termos das outras. Vamos escolher expressar em função de e a partir da segunda equação.

Passo 3

Da segunda equação:
2x + y + z = 2
Vamos isolar 2x = 2 - y - z x = 2 - y - z2 x = 1 - y2 - z2 :
Agora temos em função de e .

Passo 4

Vamos substituir essa expressão de x + 2y + 3z = 4 (1 - y2 - z2) + 2y + 3z = 4 na primeira equação do sistema:
1 - y2 - z2 + 2y + 3z = 4 1 + (2y - y2) + (3z - z2) = 4 1 + 3y2 + 5z2 = 4
Simplificando:

Passo 5

Vamos isolar os termos com 3y2 + 5z2 = 4 - 1 3y2 + 5z2 = 3 e 3y + 5z = 6 :
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:

Passo 6

Agora, vamos expressar uma das variáveis em função da outra. Vamos escolher 3y = 6 - 5z y = 6 - 5z3 y = 2 - 53z em função de :

Passo 7

Agora que temos x = 1 - y2 - z2 x = 1 - 12(2 - 53z) - z2 x = 1 - 1 + 56z - z2 x = 56z - z2 x = 5z - 3z6 x = 2z6 x = z3 em função de , podemos substituir essa expressão na equação que encontramos para :

Resposta

A interseção dos planos é a reta definida pelas equações paramétricas:
x = z3 y = 2 - 53z z = z
Ou, em forma vetorial:
r(z) = ( z3, 2 - 53z, z )
Onde é um parâmetro real.

Exercícios relacionados