Determine a interseção das retas u: x=2 t, y=1-t, z=2+2 t e v: x=1-s, y=2+s, z=-1+2 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto onde as duas retas e se cruzam. Isso envolve geometria analítica, especificamente o estudo de retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos igualar as equações paramétricas das duas retas e resolver o sistema para encontrar os valores dos parâmetros e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas x = 2t e y = 1 - t :
Para a reta z = 2 + 2t :
x = 1 - s
y = 2 + s
z = -1 + 2s
Para a reta :

Passo 3

O próximo passo é igualar as coordenadas 2t = 1 - s (1) , 1 - t = 2 + s (2) e 2 + 2t = -1 + 2s (3) das duas retas, já que no ponto de interseção elas devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Começamos pelas equações (1) e (2).
Da equação (1):
2t + s = 1 (1)
Da equação (2):
-t - s = 1 (2)
Somando as equações (1) e (2):
2t + s - t - s = 1 + 1
t = 2

Passo 5

Agora que temos 2(2) + s = 1 , substituímos esse valor na equação (1) para encontrar 4 + s = 1 :
s = 1 - 4
s = -3

Passo 6

Com os valores de 2 + 2(2) = -1 + 2(-3) e 2 + 4 = -1 - 6 encontrados, vamos verificar se eles satisfazem a terceira equação (3):
Substituindo 6 = -7 e na equação (3):
Como não é igual a , isso significa que não existe um ponto onde as retas e se intersectam. As retas são skew lines, ou seja, retas que não são paralelas e não se cruzam.

Resposta

As retas e não possuem ponto de interseção.

Exercícios relacionados