Determine intervalo de convergência da seguinte serie.
Passo 1
Primeiro, resumindo o problema: queremos determinar o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo envolve séries de potências e vamos usar o teste da raiz e testar os extremos.
Passo 2
Para aplicar o teste da raiz, calculamos
Esse limite vai nos dar a condição de convergência.
Passo 3
O teste da raiz diz que a série converge se esse limite for menor que 1, ou seja
Logo o raio de convergência é
R = tfrac23 , e a faixa inicial de convergência é
-tfrac23 < x < tfrac23 .
Passo 4
Agora testamos o ponto
x = tfrac23 . Substituindo na série, cada termo vira
Como
o termo geral não tende a zero, e portanto a série diverge em
x = tfrac23 .
Passo 5
Para
x = -tfrac23 , o termo geral em valor absoluto é idêntico ao caso positivo, então também não tende a zero e a série diverge em
x = -tfrac23 .
Resposta
(-2/3, 2/3)