Determine intervalo de convergência da seguinte serie.
summ=1^infty(3 m+22 m+3)^m x^m

Passo 1

Primeiro, resumindo o problema: queremos determinar o intervalo de convergência da série de potências
summ=1^infty(3 m+22 m+3)^m x^m
O conteúdo envolve séries de potências e vamos usar o teste da raiz e testar os extremos.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, calculamos
raiz[m]|(3 m+22 m+3)^m x^m| = 3 m+22 m+3,|x| ;longrightarrow; 32,|x| (m to infty)
Esse limite vai nos dar a condição de convergência.

Passo 3

O teste da raiz diz que a série converge se esse limite for menor que 1, ou seja
32|x| < 1 Longrightarrow |x| < 23
Logo o raio de convergência é R = tfrac23, e a faixa inicial de convergência é -tfrac23 < x < tfrac23.

Passo 4

Agora testamos o ponto x = tfrac23. Substituindo na série, cada termo vira
(3m+22m+3)^m(23)^m = ((3m+2),2(2m+3),3)^m = (1 - 56m+9)^m
Como
limmtoinfty (1 - 56m+9)^m = e^-5/6 neq 0,
o termo geral não tende a zero, e portanto a série diverge em x = tfrac23.

Passo 5

Para x = -tfrac23, o termo geral em valor absoluto é idêntico ao caso positivo, então também não tende a zero e a série diverge em x = -tfrac23.

Resposta

(-2/3, 2/3)

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