Determine o intervalo de convergência das séries de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!x^{n}}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!\,x^{n}}{(2n)!}.
O conteúdo principal aqui é aplicar o Teste da Razão para séries de potências e obter o raio de convergência R.

Passo 2

Definimos os coeficientes
a_n = \frac{n!}{(2n)!}
e aplicamos o Teste da Razão na forma
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}\,x^{\,n+1}}{a_n\,x^n}\right|.

Passo 3

Calculamos o quociente interno:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\tfrac{(n+1)!}{(2n+2)!}}{\tfrac{n!}{(2n)!}} = \frac{(n+1)!}{n!}\,\frac{(2n)!}{(2n+2)!} = (n+1)\,\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
Logo,
\left|\frac{a_{n+1}\,x^{\,n+1}}{a_n\,x^n}\right| = |x|\;\frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)} = |x|\;\frac{1}{2(2n+1)}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty} |x|\;\frac{1}{2(2n+1)} = |x|\;\underbrace{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4n+2}}_{=0} = 0.
Como L=0<1 para todo x\in\mathbb{R}, a série converge absolutamente para qualquer valor real de x.

Passo 5

O raio de convergência é
R = \infty,
logo o intervalo de convergência é todo o eixo real.

Resposta

O intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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