Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada por:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a aplicação do Teste da Razão. Observe que:
Mas para simplificar, vamos considerar apenas a parte que envolve o termo
:
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que diz que a série converge se:
Vamos calcular esse limite.
Passo 4
Calculando
an+1an = 6^n+1n+1(4x -1)^n6^nn(4x -1)^n-1 = 6^n+1n+1 cdot n6^n cdot (4x -1) = 6 cdot nn+1 cdot (4x -1) :
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, vamos calcular o limite quando
limn to infty 6 cdot nn+1 cdot (4x -1) = 6 cdot 1 cdot (4x -1) = 6(4x -1) tende ao infinito:
Passo 6
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
que garantem a convergência.
Passo 7
Primeiro, retiramos o valor absoluto:
Agora, vamos resolver a desigualdade sem o valor absoluto:
Passo 8
Isolando
-16 + 1 < 4x < 16 + 1 56 < 4x < 76 :
Primeiro, somamos 1 em todas as partes da desigualdade:
Agora, dividimos tudo por 4:
Passo 9
Então, o intervalo de convergência é:
O raio de convergência é a metade do comprimento desse intervalo. Calculando:
Resposta
O intervalo de convergência da série é
e o raio de convergência é
.