Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
(d) sumn=1^infty 6^nn(4 x-1)^n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada por:
sumn=1^infty 6^nn(4x -1)^n-1
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a aplicação do Teste da Razão. Observe que:
6^nn(4x -1)^n-1 = 6^nn(4x -1)^n cdot (4x -1)^-1 = 6^nn(4x -1)^n cdot 14x -1
Mas para simplificar, vamos considerar apenas a parte que envolve o termo an = 6^nn(4x -1)^n-1 :

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão, que diz que a série converge se:
limn to infty | an+1an | < 1
Vamos calcular esse limite.

Passo 4

Calculando an+1an = 6^n+1n+1(4x -1)^n6^nn(4x -1)^n-1 = 6^n+1n+1 cdot n6^n cdot (4x -1) = 6 cdot nn+1 cdot (4x -1) :

Passo 5

Simplificando a expressão:
an+1an = 6 cdot nn+1 cdot (4x -1)
Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty 6 cdot nn+1 cdot (4x -1) = 6 cdot 1 cdot (4x -1) = 6(4x -1) tende ao infinito:

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
|6(4x -1)| < 1
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de que garantem a convergência.

Passo 7

Primeiro, retiramos o valor absoluto:
|6(4x -1)| < 1 6|4x -1| < 1 |4x -1| < 16
Agora, vamos resolver a desigualdade sem o valor absoluto:
-16 < 4x -1 < 16

Passo 8

Isolando -16 + 1 < 4x < 16 + 1 56 < 4x < 76 :
Primeiro, somamos 1 em todas as partes da desigualdade:
524 < x < 724
Agora, dividimos tudo por 4:

Passo 9

Então, o intervalo de convergência é:
( 524, 724 )
O raio de convergência é a metade do comprimento desse intervalo. Calculando:
R = 724 - 5242 = 2242 = 124

Resposta

O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .

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