5 (2,0) - Determine, justificando, a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular com as seguintes condições de contorno
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a temperatura em estado estacionário de uma chapa retangular. Isso quer dizer que a temperatura não está mudando com o tempo. Para isso, vamos usar a Equação de Laplace, que descreve como a temperatura se distribui em um espaço sem fontes ou sumidouros de calor. As condições de contorno que a gente tem são:
- Nas bordas
x = 0ex = π, a temperaturaué zero para todoyentre0eπ. - Nas bordas
y = 0, a temperaturaué zero para todoxentre0eπ. - Na borda
y = π, a temperaturaué igual ax²para todoxentre0eπ.
Vamos precisar usar séries de Fourier para expandir a função
x² e resolver a Equação de Laplace com essas condições.Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Equação de Laplace em duas variáveis é dada por:
Como estamos lidando com um retângulo e condições de contorno específicas, é uma boa ideia usar o método da separação de variáveis. Isso significa que vamos supor que a solução
u(x, y) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de x e outra que depende só de y:Passo 3
Substituindo
u(x, y) = X(x)Y(y) na Equação de Laplace, temos:Dividindo ambos os lados por
X(x)Y(y), obtemos:Isso nos leva a:
Aqui,
λ é uma constante de separação.Passo 4
Agora, temos duas equações ordinárias:
- Para
X(x):
- Para
Y(y):
Com as condições de contorno
u(0, y) = 0 e u(π, y) = 0, isso implica que X(0) = 0 e X(π) = 0.Passo 5
Resolvendo a equação para
X(x) com as condições de contorno, obtemos soluções do tipo:Onde
n é um número inteiro positivo. Isso acontece porque as soluções que satisfazem X(0) = 0 e X(π) = 0 são senos de múltiplos de x.Passo 6
Para cada valor de
n, a equação para Y(y) se torna:A solução geral dessa equação é:
Onde
A_n e B_n são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.Passo 7
Aplicando a condição de contorno
u(x, 0) = 0, temos:Então,
Y_n(y) simplifica para:Agora, aplicamos a condição
u(x, π) = x^2. Isso nos dá:Passo 8
Para encontrar os coeficientes
B_n, vamos expandir x^2 em uma série de senos. Isso é feito usando a série de Fourier para uma função par no intervalo [0, π]:Os coeficientes
C_n são dados por:Passo 9
Depois de calcular os coeficientes
C_n, podemos relacioná-los com B_n da seguinte forma:Portanto,
Passo 10
Finalmente, juntando tudo, a solução para a temperatura em estado estacionário é:
Onde os
C_n são os coeficientes da série de Fourier de x^2:Resposta
A temperatura em estado estacionário da chapa retangular é dada pela série: