Determine lim n infty raiz[n]2 sen^2(n^2011n+1)+cos ^2(n^2011n+1)

Passo 1

Vamos resolver o limite .
Aqui, estamos lidando com:
  • Conteúdo da matéria: Cálculo de limites envolvendo raízes e funções trigonométricas.
  • O que vamos precisar:
    • Conhecer propriedades dos limites.
    • Entender como simplificar expressões dentro da raiz.
    • Saber que, para grandes , pode ser simplificada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da função trigonométrica n^2011n+1 approx n^2011n = n^2010 .
Para muito grande, é aproximadamente igual a . Então:

Passo 3

Agora, a expressão dentro da raiz fica:
2 sin^2(n^2010) + cos^2(n^2010)
Sabemos que 2 sin^2(n^2010) + cos^2(n^2010) = sin^2(n^2010) + (sin^2(n^2010) + cos^2(n^2010)) . Portanto, podemos reescrever:
= sin^2(n^2010) + 1

Passo 4

Então, o limite fica:
lim n infty raiz[n]1 + sin^2(n^2010)
Sabemos que oscila entre 0 e 1. Portanto, .

Passo 5

Vamos lembrar que:
limn to infty raiz[n]a = 1 para qualquer a > 0
Isso ocorre porque, à medida que cresce, a -ésima raiz de um número fixo tende a 1.

Passo 6

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, temos:
lim n infty raiz[n]1 + sin^2(n^2010) = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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