Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{(x-1)^{\frac{4}{3}}-(y-1)^{\frac{4}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}-(y-1)^{\frac{2}{3}}}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{(x-1)^{\frac{4}{3}} - (y-1)^{\frac{4}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}} - (y-1)^{\frac{2}{3}}}
Noções usadas: fatoração de diferença de quadrados, continuação por funções potência (continuidade de t\mapsto t^{2/3} e t\mapsto t^{4/3}) e propriedades de limites em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Definimos
A = (x-1)^{\frac{2}{3}},\qquad B = (y-1)^{\frac{2}{3}}.
Então (x-1)^{\frac{4}{3}} = A^2 e (y-1)^{\frac{4}{3}} = B^2. A expressão do limite fica
\frac{A^2 - B^2}{A - B}.

Passo 3

Usamos a fatoração de diferença de quadrados:
A^2 - B^2 = (A - B)(A + B).
Para (x,y) tais que A\neq B (isto é, x\neq y), podemos cancelar A-B no numerador e denominador, obtendo
\frac{A^2 - B^2}{A - B} = A + B.
Pelo teorema da substituição/algebra de limites em \mathbb{R}^2, basta então calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \bigl(A+B\bigr).

Passo 4

Como x\to0 temos x-1\to -1. A função t\mapsto t^{2/3} é contínua em t=-1 (usa-se a raiz cúbica real), logo
\lim_{x\to0}(x-1)^{\frac{2}{3}} = (-1)^{\frac{2}{3}} = 1.
De modo análogo,
\lim_{y\to0}(y-1)^{\frac{2}{3}} = 1.
Assim
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(A+B\bigr) = 1 + 1 = 2.

Resposta

O limite existe e vale 2.

Exercícios relacionados