Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite quando
se aproxima de
na função
. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular o limite de uma função de duas variáveis, precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que tomamos para chegar ao ponto
. Se encontrarmos caminhos onde o limite dá valores diferentes, então o limite não existe.
Passo 3
Vamos testar o caminho ao longo do eixo
, ou seja, onde
. Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de 0,
tende para
ou
dependendo da direção de
(positivo ou negativo). Isso já indica que o limite pode não existir, mas vamos verificar mais um caminho.
Passo 4
Agora, vamos considerar o caminho ao longo do eixo
, ou seja, onde
. Substituindo na função:
Aqui, o limite é claramente 0 quando nos aproximamos pelo eixo
.
Passo 5
Comparando os dois caminhos:
- Pelo eixo
: O limite tende para . - Pelo eixo
: O limite é 0.
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso mostra que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.
Resposta
O limite
não existe, pois diferentes caminhos de aproximação levam a valores distintos.