Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) xx^2+2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite quando se aproxima de na função . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular o limite de uma função de duas variáveis, precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que tomamos para chegar ao ponto . Se encontrarmos caminhos onde o limite dá valores diferentes, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos testar o caminho ao longo do eixo xx^2+2 cdot 0^2 = xx^2 = 1x , ou seja, onde . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, tende para ou dependendo da direção de (positivo ou negativo). Isso já indica que o limite pode não existir, mas vamos verificar mais um caminho.

Passo 4

Agora, vamos considerar o caminho ao longo do eixo 00^2+2 y^2 = 02 y^2 = 0 , ou seja, onde . Substituindo na função:
Aqui, o limite é claramente 0 quando nos aproximamos pelo eixo .

Passo 5

Comparando os dois caminhos:
  • Pelo eixo : O limite tende para .
  • Pelo eixo : O limite é 0.
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso mostra que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe, pois diferentes caminhos de aproximação levam a valores distintos.

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