Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 8 x^2 y^2x^4+y^4

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o limite da função 8 x^2 y^2x^4+y^4 quando os pontos (x, y) se aproximam de (0,0). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em duas variáveis e verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde y = 0. Substituindo y por 0 na função:
8 x^2 cdot 0^2x^4 + 0^4 = 0x^4 = 0
Então, ao se aproximar de (0,0) pelo eixo x, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos considerar o caminho onde x = 0. Substituindo x por 0 na função:
8 cdot 0^2 cdot y^20^4 + y^4 = 0y^4 = 0
Assim, ao se aproximar de (0,0) pelo eixo y, o limite também é 0.

Passo 4

Vamos analisar um caminho mais geral, onde y = kx, sendo k uma constante. Substituindo y por kx na função:
8 x^2 (k x)^2x^4 + (k x)^4 = 8 k^2 x^4x^4 (1 + k^4) = 8 k^21 + k^4
Aqui, o limite depende do valor de k. Por exemplo:
  • Se k = 1, o limite é 8 cdot 1^21 + 1^4 = 82 = 4.
  • Se k = 0, já vimos que o limite é 0.

Resposta

Como o limite varia dependendo do valor de k, ou seja, do caminho pelo qual nos aproximamos de (0,0), isso significa que o limite não existe.

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