Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (2,1) arcsen(x y-2)arctan (3 x y-6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , quando elas se aproximam de . A matéria que estamos mexendo aqui é o cálculo de limites em funções multivariáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções e se comportam perto do ponto onde estamos indo, além de usar um pouco de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que acontece com as funções dentro do limite quando xy = 2 times 1 = 2 se aproxima de xy - 2 = 2 - 2 = 0 . Calculando 3xy - 6 = 3 times 2 times 1 - 6 = 6 - 6 = 0 :
Então, fica:
E para o denominador, :
Isso nos dá uma forma , que é uma situação indeterminada. Então, precisamos simplificar a expressão para entender melhor o limite.

Passo 3

Vamos observar que o denominador é três vezes o numerador:
3xy - 6 = 3(xy - 2)
Isso significa que podemos reescrever a expressão do limite assim:
arcsin(xy - 2)arctan(3xy - 6) = arcsin(xy - 2)arctan(3(xy - 2))

Passo 4

Sabemos que, para valores pequenos de arcsin(xy - 2) approx xy - 2 , arctan(3(xy - 2)) approx 3(xy - 2) e . Como está se aproximando de 0, podemos aplicar essa aproximação:

Passo 5

Substituindo essas aproximações na expressão do limite, temos:
xy - 23(xy - 2) = 13
Aqui, o cancela no numerador e denominador, restando apenas .

Resposta

O limite é .

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