Determine os limites, caso exista:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o limite da função
quando
se aproxima de 1. Isso está relacionado ao estudo de limites em Cálculo Diferencial e Integral. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão ou usar técnicas como a regra de L’Hôpital, já que ao substituir
diretamente, obtemos uma indeterminação.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para verificar a forma do limite:
Obtivemos a forma indeterminada
. Nesse caso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital para resolver o limite.
Passo 3
A regra de L’Hôpital afirma que se
ou
, então:
desde que o limite na direita exista. Vamos aplicar essa regra derivando o numerador e o denominador.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
- Derivada do numerador
:
Portanto,
- Derivada do denominador
:
Portanto,
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital, substituímos pelas derivadas encontradas:
Passo 6
Agora, substituímos
na nova expressão:
Resposta
O limite é
.