Determine os limites, caso exista: lim x 1 x-raizxx^2-1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o limite da função x - raizxx^2 - 1 quando x se aproxima de 1. Isso está relacionado ao estudo de limites em Cálculo Diferencial e Integral. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão ou usar técnicas como a regra de L’Hôpital, já que ao substituir x = 1 diretamente, obtemos uma indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 diretamente na expressão para verificar a forma do limite:
1 - raiz11^2 - 1 = 1 - 11 - 1 = 00
Obtivemos a forma indeterminada 00. Nesse caso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital para resolver o limite.

Passo 3

A regra de L’Hôpital afirma que se limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
desde que o limite na direita exista. Vamos aplicar essa regra derivando o numerador e o denominador.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador x - raizx:
ddx(x) = 1 e ddx(raizx) = 12raizx
Portanto,
ddx(x - raizx) = 1 - 12raizx
  • Derivada do denominador x^2 - 1:
ddx(x^2) = 2x e ddx(-1) = 0
Portanto,
ddx(x^2 - 1) = 2x

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, substituímos pelas derivadas encontradas:
limx to 1 x - raizxx^2 - 1 = limx to 1 1 - 12raizx2x

Passo 6

Agora, substituímos x = 1 na nova expressão:
1 - 12raiz12 times 1 = 1 - 122 = 122 = 14

Resposta

O limite é 14.

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